Q13: O conjunto-solução de um sistema de
equações em 12 incógnitas é um plano ou
. Um possível valor de
ê:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 6
13
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 6
13
Passo 1
O enunciado diz: um sistema de
equações em
incógnitas tem conjunto- -solução que é ou um plano ou o espaço
. Pede-se escolher um possível valor de
entre as alternativas:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Lista das informações relevantes:
- O número de incógnitas é
. - O número de equações é
(uma das alternativas). - O conjunto-solução pode ser um plano (ou seja, um subespaço afim de dimensão
) ou (dimensão ).
Passo 2
Vamos lembrar um resultado básico e muito útil (explicado passo a passo): para um sistema linear homogêneo com
incógnitas, a dimensão do espaço solução (espaço nulo) satisfaz a relação dimensão-nulidade (teorema do posto ou rank-nullity):
onde
é o posto (rank) da matriz dos coeficientes. Explicando os termos:
-
é o número máximo de equações linearmente independentes; é um inteiro com . -
é o número de graus de liberdade das incógnitas após aplicar as restrições. Por exemplo, se , temos um plano (subespaço de dimensão ); se , nenhuma restrição efetiva e o conjunto-solução é todo .
Observação didática: o posto
não pode exceder
(número de equações) nem exceder
(número de colunas).
Passo 3
Usando a fórmula anterior, traduzimos as duas possibilidades do enunciado em valores de
:
- Se o conjunto-solução é um plano (dimensão
), então
- Se o conjunto-solução é
(dimensão ), então
Portanto, dependendo dos coeficientes, o posto
do sistema deve ser ou
(para obter um plano) ou
(para obter
.
Passo 4
Lembremos a restrição entre
e
:
Para que seja possível ter
(caso do plano) é necessário ter
Isto é, o número de equações
deve ser pelo menos
.
Passo 5
Confrontando com as alternativas dadas (
), vemos que nenhuma delas satisfaz
. Note também que o caso
(para obter
) é possível mesmo com qualquer
se todas as equações forem trivialmente
; porém para que, além disso, exista também a possibilidade de obter um plano (isto é, permitir
) é necessário ter
. Como nenhuma alternativa tem
, nenhuma das alternativas permite, em geral, que o conjunto-solucão seja alternadamente um plano (dimensão
) ou
.
Passo 6
Conclusão: o valor de
que tornaria possível que o conjunto-solucão seja um plano (dimensão
) é
(por exemplo
). Como essa opção não está entre as alternativas fornecidas, nenhuma das alternativas apresentadas é compatível com a condição do enunciado.
Resposta
Nenhuma das alternativas.