Q13: O conjunto-solução de um sistema de m equações em 12 incógnitas é um plano ou \mathbb{R}^{12}. Um possível valor de m ê:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 6
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Passo 1

O enunciado diz: um sistema de m equações em 12 incógnitas tem conjunto- -solução que é ou um plano ou o espaço \mathbb{R}^{12}. Pede-se escolher um possível valor de m entre as alternativas:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 6
Lista das informações relevantes:
  • O número de incógnitas é 12.
  • O número de equações é m (uma das alternativas).
  • O conjunto-solução pode ser um plano (ou seja, um subespaço afim de dimensão 2) ou \mathbb{R}^{12} (dimensão 12).

Passo 2

Vamos lembrar um resultado básico e muito útil (explicado passo a passo): para um sistema linear homogêneo com 12 incógnitas, a dimensão do espaço solução (espaço nulo) satisfaz a relação dimensão-nulidade (teorema do posto ou rank-nullity):
\dim(\text{solução}) = 12 - r,çã
onde r é o posto (rank) da matriz dos coeficientes. Explicando os termos:
  • r é o número máximo de equações linearmente independentes; é um inteiro com 0 \le r \le \min(m,12).
  • \dim(\text{solução})çã é o número de graus de liberdade das incógnitas após aplicar as restrições. Por exemplo, se \dim(\text{solução})=2çã, temos um plano (subespaço de dimensão 2); se \dim(\text{solução})=12çã, nenhuma restrição efetiva e o conjunto-solução é todo \mathbb{R}^{12}.
Observação didática: o posto r não pode exceder m (número de equações) nem exceder 12 (número de colunas).

Passo 3

Usando a fórmula anterior, traduzimos as duas possibilidades do enunciado em valores de r:
  • Se o conjunto-solução é um plano (dimensão 2), então
12 - r = 2 \quad\Rightarrow\quad r = 10.
  • Se o conjunto-solução é \mathbb{R}^{12} (dimensão 12), então
12 - r = 12 \quad\Rightarrow\quad r = 0.
Portanto, dependendo dos coeficientes, o posto r do sistema deve ser ou r=10 (para obter um plano) ou r=0 (para obter \mathbb{R}^{12}.

Passo 4

Lembremos a restrição entre r e m:
r \le \min(m,12)\quad\text{em particular}\quad r \le m.
Para que seja possível ter r=10 (caso do plano) é necessário ter
m \ge r = 10.
Isto é, o número de equações m deve ser pelo menos 10.

Passo 5

Confrontando com as alternativas dadas ( m=1,2,3,4,6), vemos que nenhuma delas satisfaz m\ge 10. Note também que o caso r=0 (para obter \mathbb{R}^{12}) é possível mesmo com qualquer m se todas as equações forem trivialmente 0=0; porém para que, além disso, exista também a possibilidade de obter um plano (isto é, permitir r=10) é necessário ter m\ge 10. Como nenhuma alternativa tem m\ge 10, nenhuma das alternativas permite, em geral, que o conjunto-solucão seja alternadamente um plano (dimensão 2) ou \mathbb{R}^{12}.

Passo 6

Conclusão: o valor de m que tornaria possível que o conjunto-solucão seja um plano (dimensão 2) é m\ge 10 (por exemplo m=10). Como essa opção não está entre as alternativas fornecidas, nenhuma das alternativas apresentadas é compatível com a condição do enunciado.

Resposta

Nenhuma das alternativas.

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