Q2:
Encontre a solução da seguinte inequação:
Encontre a solução da seguinte inequação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- Temos uma expressão envolvendo
, números racionais e . - A incógnita é
e queremos o conjunto de valores de que satisfazem a desigualdade. - Não há restrições adicionais sobre
(domínio é todo ).
Passo 2
Primeiro vamos juntar os termos do lado esquerdo numa única fração para simplificar. Para isso escolhemos o denominador comum
(maior denominador presente). Reescrevemos cada parcela com denominador
:
Agora substituímos na inequação:
Passo 3
Como todas as parcelas do lado esquerdo têm denominador
, juntamos num numerador só:
Desenvolvendo os sinais no numerador:
Passo 4
Somamos termos semelhantes no numerador (agrupando termos com
e termos constantes ou com
):
Agora multiplicamos ambos os lados por
. Multiplicar por
não muda o sentido da desigualdade:
Passo 5
Colocamos todos os termos com
de um lado e as constantes do outro. Subtraindo
dos dois lados:
ou seja
Fatoramos
nos termos que o contêm:
Isolando o termo com
:
Passo 6
Agora vamos dividir ambos os lados por
para obter
. Antes, é fundamental saber o sinal de
. Calculando aproximado:
logo
Como o coeficiente é negativo, ao dividir a desigualdade por ele, o sentido da desigualdade troca. Assim
Passo 7
Para deixar a resposta com denominador racional (opcional, mas às vezes desejado), racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
:
O denominador fica
O numerador, ao expandir, dá
Portanto
Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 8
Uma verificação numérica rápida (apenas para conferir o sinal e a ordem de grandeza):
Assim a solução é consistente com a manipulação anterior.