Q2:
Encontre a solução da seguinte inequação:
x \sqrt{2}-\frac{10 x-3}{20}-\frac{7 x-\sqrt{2}}{4} \geq 15

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x\sqrt{2}-\frac{10x-3}{20}-\frac{7x-\sqrt{2}}{4}\geq 15.
Informações dadas:
  • Temos uma expressão envolvendo x, números racionais e \sqrt{2}.
  • A incógnita é x e queremos o conjunto de valores de x que satisfazem a desigualdade.
  • Não há restrições adicionais sobre x (domínio é todo \mathbb{R}).

Passo 2

Primeiro vamos juntar os termos do lado esquerdo numa única fração para simplificar. Para isso escolhemos o denominador comum 20 (maior denominador presente). Reescrevemos cada parcela com denominador 20:
x\sqrt{2}=\frac{20x\sqrt{2}}{20},\qquad \frac{10x-3}{20}=\frac{10x-3}{20},\qquad \frac{7x-\sqrt{2}}{4}=\frac{5(7x-\sqrt{2})}{20}=\frac{35x-5\sqrt{2}}{20}.
Agora substituímos na inequação:
\frac{20x\sqrt{2}}{20}-\frac{10x-3}{20}-\frac{35x-5\sqrt{2}}{20}\geq 15.

Passo 3

Como todas as parcelas do lado esquerdo têm denominador 20, juntamos num numerador só:
\frac{20x\sqrt{2}-(10x-3)-(35x-5\sqrt{2})}{20}\geq 15.
Desenvolvendo os sinais no numerador:
\frac{20x\sqrt{2}-10x+3-35x+5\sqrt{2}}{20}\geq 15.

Passo 4

Somamos termos semelhantes no numerador (agrupando termos com x e termos constantes ou com \sqrt{2}):
\frac{20x\sqrt{2}+5\sqrt{2}-45x+3}{20}\geq 15.
Agora multiplicamos ambos os lados por 20. Multiplicar por 20>0 não muda o sentido da desigualdade:
20x\sqrt{2}+5\sqrt{2}-45x+3\geq 300.

Passo 5

Colocamos todos os termos com x de um lado e as constantes do outro. Subtraindo 300 dos dois lados:
20x\sqrt{2}-45x+5\sqrt{2}+3-300\geq 0,
ou seja
20x\sqrt{2}-45x+(5\sqrt{2}-297)\geq 0.
Fatoramos x nos termos que o contêm:
x(20\sqrt{2}-45)+(5\sqrt{2}-297)\geq 0.
Isolando o termo com x:
x(20\sqrt{2}-45)\geq 297-5\sqrt{2}.

Passo 6

Agora vamos dividir ambos os lados por 20\sqrt{2}-45 para obter x. Antes, é fundamental saber o sinal de 20\sqrt{2}-45. Calculando aproximado:
20\sqrt{2}\approx 20\cdot1,4142136\approx 28,28427,
logo
20\sqrt{2}-45\approx -16,71573<0.
Como o coeficiente é negativo, ao dividir a desigualdade por ele, o sentido da desigualdade troca. Assim
x\leq \frac{297-5\sqrt{2}}{20\sqrt{2}-45}.

Passo 7

Para deixar a resposta com denominador racional (opcional, mas às vezes desejado), racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 20\sqrt{2}+45:
x\leq \frac{(297-5\sqrt{2})(20\sqrt{2}+45)}{(20\sqrt{2}-45)(20\sqrt{2}+45)}.
O denominador fica
(20\sqrt{2})^2-45^2=800-2025=-1225.
O numerador, ao expandir, dá
297\cdot20\sqrt{2}+297\cdot45-5\sqrt{2}\cdot20\sqrt{2}-5\sqrt{2}\cdot45 =5715\sqrt{2}+13165.
Portanto
x\leq -\frac{5715\sqrt{2}+13165}{1225}.
Dividindo numerador e denominador por 5:
x\leq -\frac{1143\sqrt{2}+2633}{245}.

Passo 8

Uma verificação numérica rápida (apenas para conferir o sinal e a ordem de grandeza):
-\frac{1143\sqrt{2}+2633}{245}\approx -17{,}345\ldots
Assim a solução é consistente com a manipulação anterior.

Resposta

x\leq -\frac{1143\sqrt{2}+2633}{245}

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