Q4

Se integral0^pi / 2 9 cos ^2(t) d t=9 pi4, calcular integral0^pi / 2-cos ^2(theta) d theta.
Dica. Existe uma propriedade da integral definida que diz o seguinte: integrala^b f(x) d x=-integralb^a f(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^pi/2-cos^2(theta),dtheta
sabendo que
integral0^pi/29cos^2(t),dt=tfrac9pi4.
O conteúdo usado será a regra do fator constante em integrais definidas e a propriedade de inversão de limites (ou, equivalentemente, a linearidade da integral).

Passo 2

Aplicamos a regra do fator constante, que diz que podemos puxar constantes para fora da integral:
integral0^pi/2-cos^2(theta),dtheta = -integral0^pi/2cos^2(theta),dtheta

Passo 3

Para obter integral0^pi/2cos^2(theta),dtheta, usamos a informação dada:
integral0^pi/29cos^2(t),dt =9integral0^pi/2cos^2(t),dt =9pi4
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integral0^pi/2cos^2(theta),dtheta =tfrac9pi49 =pi4

Passo 4

Substituindo esse valor no resultado do passo 2, encontramos
integral0^pi/2-cos^2(theta),dtheta =-,pi4

Resposta

-dfracpi4

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