Questão 1. Verifique se a sequência é monótona e limitada. Conclua se é convergente ou divergente e calcule o limite.
(2 n-33 n+4)n=1^infty

Passo 1

Você tem a sequência
an = 2n-33n+4, n=1,2,dots
O exercício pede para:
  1. Verificar se ela é monótona (cresce ou decresce).
  2. Verificar se ela é limitada (não foge de um intervalo).
  3. Concluir se é convergente ou divergente.
  4. Calcular o limite limntoinftyan caso ela convirja.
Conteúdo/matéria: teoria de sequências numéricas — definição de sequência monótona, sequência limitada, teorema da convergência de sequências monótonas limitadas e cálculo de limites de funções racionais. Vamos usar o teste an+1-an, definição de limite e técnica de comparação de graus.

Passo 2

Monotonicidade
  • Teoria: (an) é crescente se, para todo n, an+1-an>=0.
  • Calculemos
an+1 = 2(n+1)-33(n+1)+4 = 2n-13n+7,
então
an+1-an = 2n-13n+7 - 2n-33n+4 = (2n-1)(3n+4) - (2n-3)(3n+7)(3n+7)(3n+4)
Expandindo:
(2n-1)(3n+4) = 6n^2 +5n -4, (2n-3)(3n+7) = 6n^2 +5n -21,
logo o numerador é (6n^2+5n-4)-(6n^2+5n-21)=17. Assim
an+1-an = 17(3n+7)(3n+4) >0 forall n>=1
Conclusão: a sequência é monótona crescente.

Passo 3

Limitação
  • Teoria: sequência limitada significa existir um intervalo fixo que contenha todos os an.
  • Como ela é crescente, o menor valor é a1 e um limite superior pode vir de comparação.
  • Cota inferior:
a1 = 2cdot1-33cdot1+4 = -17
  • Cota superior: para todo n>=1,
2n-33n+4 < 2n3n = 23
Logo
-tfrac17 <= an < tfrac23,
mostrando que (an) é limitada.

Passo 4

Convergência e limite
  • Teorema da convergência monotônica: toda sequência que é simultaneamente monótona e limitada converge.
  • Assim, (an) converge.
  • Para achar o limite, usamos que, em funções racionais de mesmo grau, a tendência é a razão dos coeficientes principais:
limntoinfty2n-33n+4 = 23

Resposta

A sequência l(tfrac2n-33n+4r) é monótona crescente, limitada (entre -tfrac17 e tfrac23), convergente, e
limntoinfty 2n-33n+4 ;=;23

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