Questão 1. Verifique se a sequência é monótona e limitada. Conclua se é convergente ou divergente e calcule o limite.
Passo 1
Você tem a sequência
O exercício pede para:
- Verificar se ela é monótona (cresce ou decresce).
- Verificar se ela é limitada (não foge de um intervalo).
- Concluir se é convergente ou divergente.
- Calcular o limite
caso ela convirja.
Conteúdo/matéria: teoria de sequências numéricas — definição de sequência monótona, sequência limitada, teorema da convergência de sequências monótonas limitadas e cálculo de limites de funções racionais. Vamos usar o teste
, definição de limite e técnica de comparação de graus.
Passo 2
Monotonicidade
- Teoria:
é crescente se, para todo , . - Calculemos
então
Expandindo:
logo o numerador é
. Assim
Conclusão: a sequência é monótona crescente.
Passo 3
Limitação
- Teoria: sequência limitada significa existir um intervalo fixo que contenha todos os
. - Como ela é crescente, o menor valor é
e um limite superior pode vir de comparação. - Cota inferior:
- Cota superior: para todo
,
Logo
mostrando que
é limitada.
Passo 4
Convergência e limite
- Teorema da convergência monotônica: toda sequência que é simultaneamente monótona e limitada converge.
- Assim,
converge. - Para achar o limite, usamos que, em funções racionais de mesmo grau, a tendência é a razão dos coeficientes principais:
Resposta
A sequência
é monótona crescente, limitada (entre
e
), convergente, e