Q2. (3 pontos) Usando o a transformada de Laplace resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a solução
onde a força externa
é dada por trecho:
Informações relevantes que temos: as condições iniciais são nulas;
e depois passa a ser
. A missão é encontrar
para
.]
Passo 2
Apresento a ferramenta que vamos usar (de forma prática e breve): a transformada de Laplace. Vou explicar só o que precisa para aplicar ao problema.
Definição (útil): a transformada de Laplace de uma função
é
Propriedades que usaremos:
onde
. Essas fórmulas mostram como derivadas viram polinômios em
multiplicando
; é por isso que a Laplace simplifica EDOs com condições iniciais.
Outra propriedade que vamos usar é a do deslocamento temporal (Heaviside): se
é a função degrau
para
e
para
, então
Essa propriedade nos permite tratar funções que “ligam” em
.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
, obtemos
Portanto
Note que
. Agora precisamos calcular
.
Passo 4
Escrevemos
usando o degrau em
. Pela definição do enunciado, para
:
Para aplicar o teorema do deslocamento é conveniente escrever
como
. Assim
Pelo teorema do deslocamento, a transformada de Laplace de
é
vezes a transformada de
(vista como função da nova variável), e a transformada de
é
.
Passo 5
Calculo
. Temos
e
Somando:
Passo 6
Volto para a equação em
:
Usei a notação
Pela propriedade do deslocamento, a solução no tempo será
onde
. Então precisamos achar
(inversa de
).
Passo 7
Faço a decomposição em frações parciais de
. Procuro
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para encontrar coeficientes, avalio em valores convenientes:
- Em
: - Em
: - Em
:
Falta
. Compare os coeficientes do termo em
na igualdade original. Expandindo parcialmente (ou usando o coeficiente de
) encontramos a equação linear
Substituindo
dá
Assim os coeficientes são
Passo 8
Calculo a inversa de Laplace de cada termo. Usando
obtemos
Passo 9
Agora uso a propriedade de deslocamento no tempo: como
, então
Isto significa que para
a solução é
(porque
lá) e para
vale
.
Substituo
em
:
Posso simplificar a parte linear/constante:
Portanto, para
,
Verificação rápida: avaliando o limite em
dá
, logo a solução é contínua em
e coincide com
para
, como esperado pelas condições iniciais e pelo fato de
até
.
Passo 10
Recapitulando: resolvemos usando transformada de Laplace, representando
com degrau e aplicando a propriedade de deslocamento. Fizemos frações parciais para inverter a transformada e obtivemos a solução em forma peça-por-peça.