Q4. Seja
h(x)=sumn=1^infty (-1)^n+1(2 n-1)! x^2 n-1
Calcule h(pi).

Passo 1

O enunciado define a função
h(x)=sumn=1^infty(-1)^n+1(2n-1)!,x^2n-1
e pede h(pi). O conteúdo aqui é séries de potências e, em particular, a expansão de Taylor de funções elementares como o sin x.

Passo 2

Lembramos que a série de Taylor de sin x em torno de zero é
sin x ;=;sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!,x^2k+1,

Passo 3

Para comparar com h(x), façamos a mudança de índice k=n-1. Então k varia de 0 a infty quando n varia de 1 a infty, e
(-1)^k = (-1)^n-1 e 2k+1 = 2(n-1)+1 = 2n-1
Além disso
(-1)^n+1=(-1)^(n-1)+2=(-1)^n-1,,
logo cada termo de h(x) coincide com o termo correspondente da série de sin x. Concluímos que
h(x)=sin x

Passo 4

Basta então avaliar em x=pi:
h(pi)=sin(pi)=0

Resposta

0

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