Questão 23 (AMAN - RJ)
Uma forma trigonométrica do número complexo
é:
a)
b)
c)
d)
isen
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Enunciado: encontrar uma forma trigonométrica do número complexo
.
Informações dadas: o número complexo na forma cartesiana é .
Alternativas (copiei do enunciado):
a)
b)
c)
d)
Informações dadas: o número complexo na forma cartesiana é
Alternativas (copiei do enunciado):
a)
b)
c)
d)
Passo 2
Explicação do que precisamos calcular: para escrever um complexo na forma trigonométrica usamos a representação
onde
é o módulo (distância do ponto ao origem) e
é o argumento (ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo). Primeiro vamos achar o módulo
.
Fórmula do módulo: se
, então
Aqui
e
. Substituindo:
Simplificando
. Logo
Passo 3
Agora vamos achar o argumento
. A fórmula básica (para o ângulo de referência) é
mas é crucial verificar em qual quadrante o número está para escolher o
correto.
Aqui
e
, portanto o ponto está no quarto quadrante (parte real positiva, parte imaginária negativa). Calculamos a razão:
O arco cuja tangente é
é
(ou
se preferirmos um ângulo entre
e
). Como estamos no quarto quadrante, o ângulo correto pode ser tomado como
Passo 4
Montando a forma trigonométrica com os valores encontrados:
Vou checar rapidamente expandindo para ver se volta à forma cartesiana: usamos
e
. Então
e
Somando dá
, que é exatamente o
original. Ótimo — a forma trigonométrica está correta.
Passo 5
Agora comparo com as alternativas:
- a)
dá , diferente de . - b)
tem módulo , não tem módulo , logo não é . - c)
é exatamente o que encontramos. - d)
daria , que não é .
Portanto a alternativa correta é a c).
Resposta
c)