Questão 23 (AMAN - RJ)

Uma forma trigonométrica do número complexo z=\sqrt{3}-3 i é:
a) -2 \sqrt{3}\left(\cos 60^{\circ}+\mathrm{isen} 60^{\circ}\right)
b) \cos 45^{\circ}+i \operatorname{sen} 45^{\circ}
c) 2 \sqrt{3}\left(\cos 300^{\circ}+\mathrm{isen} 300^{\circ}\right)
d) 2 \sqrt{3}\left(\cos 30^{\circ}+\right. isen \left.30^{\circ}\right)

Passo 1

Enunciado: encontrar uma forma trigonométrica do número complexo \,z=\sqrt{3}-3\,i\,.
Informações dadas: o número complexo na forma cartesiana é \,z=\sqrt{3}-3\,i\,.
Alternativas (copiei do enunciado):
a) -2 \sqrt{3}\left(\cos 60^{\circ}+i\operatorname{sen}60^{\circ}\right)
b) \cos 45^{\circ}+i\operatorname{sen}45^{\circ}
c) 2 \sqrt{3}\left(\cos 300^{\circ}+i\operatorname{sen}300^{\circ}\right)
d) 2 \sqrt{3}\left(\cos 30^{\circ}+i\operatorname{sen}30^{\circ}\right)

Passo 2

Explicação do que precisamos calcular: para escrever um complexo na forma trigonométrica usamos a representação
r(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta),
onde \,r é o módulo (distância do ponto ao origem) e \,\theta é o argumento (ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo). Primeiro vamos achar o módulo \,r.
Fórmula do módulo: se \,z=x+iy, então
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=\sqrt{3} e y=-3. Substituindo:
r=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}.
Simplificando \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}. Logo
r=2\sqrt{3}.

Passo 3

Agora vamos achar o argumento \,\theta. A fórmula básica (para o ângulo de referência) é
\tan\theta=\frac{y}{x},
mas é crucial verificar em qual quadrante o número está para escolher o \theta correto.
Aqui x=\sqrt{3}>0 e y=-3<0, portanto o ponto está no quarto quadrante (parte real positiva, parte imaginária negativa). Calculamos a razão:
\frac{y}{x}=\frac{-3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}.
O arco cuja tangente é -\sqrt{3} é -60^{\circ} (ou 300^{\circ} se preferirmos um ângulo entre 0^{\circ} e 360^{\circ}). Como estamos no quarto quadrante, o ângulo correto pode ser tomado como
\theta=-60^{\circ}\quad\text{(equivalente a }\theta=300^{\circ}\text{).}

Passo 4

Montando a forma trigonométrica com os valores encontrados:
z=r(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta)=2\sqrt{3}\big(\cos 300^{\circ}+i\operatorname{sen}300^{\circ}\big).
Vou checar rapidamente expandindo para ver se volta à forma cartesiana: usamos \cos 300^{\circ}=\cos(-60^{\circ})=\tfrac{1}{2} e \operatorname{sen}300^{\circ}=\operatorname{sen}(-60^{\circ})=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
2\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{3},
e
2\sqrt{3}\cdot i\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=i(-3)=-3i.
Somando dá \sqrt{3}-3i, que é exatamente o z original. Ótimo — a forma trigonométrica está correta.

Passo 5

Agora comparo com as alternativas:
  • a) -2\sqrt{3}(\cos60^{\circ}+i\operatorname{sen}60^{\circ}) -\sqrt{3}-3i, diferente de z.
  • b) \cos45^{\circ}+i\operatorname{sen}45^{\circ} tem módulo 1, não tem módulo 2\sqrt{3}, logo não é z.
  • c) 2\sqrt{3}(\cos300^{\circ}+i\operatorname{sen}300^{\circ}) é exatamente o que encontramos.
  • d) 2\sqrt{3}(\cos30^{\circ}+i\operatorname{sen}30^{\circ}) daria 3+i\sqrt{3}, que não é z.
Portanto a alternativa correta é a c).

Resposta

c) 2 \sqrt{3}\left(\cos 300^{\circ}+i\operatorname{sen}300^{\circ}\right)

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