Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=2 \vec{a}_{1}+6 \vec{a}_{2}+5 \vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=5 \vec{a}_{1}+5 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3} e \vec{b}_{3}=4 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=4, assinale o valor do \operatorname{det}(B) :
(A) -28
(B) -24
(C) -20
(D) -16
(E) -12
(F) -8
(G) -4
(H) 0

Passo 1

O enunciado dá que as colunas de A são os vetores \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}\in\mathbb{R}^{3}, e as colunas de B são vetores \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3} que valem:
\vec{b}_{1}=2\vec{a}_{1}+6\vec{a}_{2}+5\vec{a}_{3},
\vec{b}_{2}=5\vec{a}_{1}+5\vec{a}_{2}+4\vec{a}_{3},
\vec{b}_{3}=4\vec{a}_{1}+7\vec{a}_{2}+6\vec{a}_{3}.
Também é dado que \operatorname{det}(A)=4. A pergunta é: qual é o valor de \operatorname{det}(B)?\n
Informações relevantes listadas:
  • As colunas de B são combinações lineares das colunas de A com os coeficientes acima.
  • Sabemos \operatorname{det}(A)=4.
  • Precisamos obter \operatorname{det}(B) a partir dessas informações.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a relação matricial entre A e B. Se cada coluna \vec{b}_j de B é uma combinação linear das colunas \vec{a}_i de A, existe uma matriz C\in\mathbb{R}^{3\times3} tal que
B = A\,C.
Aqui C tem como coluna j o vetor dos coeficientes que combinam \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 para formar \vec{b}_j. Tomando as combinações do enunciado, as colunas de C são
\text{coluna 1 de }C = \begin{pmatrix}2\\\ 6\\\ 5\end{pmatrix},\quad \text{coluna 2 de }C = \begin{pmatrix}5\\\ 5\\\ 4\end{pmatrix},\quad \text{coluna 3 de }C = \begin{pmatrix}4\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix}.
Logo a matriz C é
C = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4\\[4pt] 6 & 5 & 7\\[4pt] 5 & 4 & 6 \end{pmatrix}.
(Expliquei isso porque é crucial: cada coluna de C são os coeficientes que aparecem no enunciado para formar \vec{b}_j.)]

Passo 3

Agora uma propriedade fundamental dos determinantes: para matrizes quadradas do mesmo tamanho vale
\operatorname{det}(A\,C)=\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}\text{(C)}.
Intuição rápida (não necessária para aplicar): o determinante mede fator de escala de volume; aplicar A e depois C escala o volume por \operatorname{det}(A) e por \operatorname{det}\text{(C)}, então o resultado é o produto. Como B=A\,C, segue que
\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}\text{(C)}.
Portanto nossa tarefa reduz-se a calcular \operatorname{det}\text{(C)} e multiplicar por \operatorname{det}(A)=4.

Passo 4

Vou calcular \operatorname{det}\text{(C)}. Usarei a expansão por cofatores na primeira linha (fórmula padrão): para
C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13}\\[4pt] c_{21} & c_{22} & c_{23}\\[4pt] c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix},
temos
\operatorname{det}\text{(C)}=c_{11}\det\begin{pmatrix}c_{22}&c_{23}\\[4pt]c_{32}&c_{33}\end{pmatrix} - c_{12}\det\begin{pmatrix}c_{21}&c_{23}\\[4pt]c_{31}&c_{33}\end{pmatrix} + c_{13}\det\begin{pmatrix}c_{21}&c_{22}\\[4pt]c_{31}&c_{32}\end{pmatrix}.
No nosso caso c_{11}=2, c_{12}=5, c_{13}=4, c_{21}=6, c_{22}=5, c_{23}=7, c_{31}=5, c_{32}=4, c_{33}=6. Substituindo:]

Passo 5

Calcule cada determinante 2\times2 que aparece:
Primeiro:
\det\begin{pmatrix}c_{22}&c_{23}\\[4pt]c_{32}&c_{33}\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}5 & 7\\[4pt]4 & 6\end{pmatrix} =5\cdot 6 - 7\cdot 4 = 30 - 28 = 2.
Segundo:
\det\begin{pmatrix}c_{21}&c_{23}\\[4pt]c_{31}&c_{33}\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}6 & 7\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix} =6\cdot 6 - 7\cdot 5 = 36 - 35 = 1.
Terceiro:
\det\begin{pmatrix}c_{21}&c_{22}\\[4pt]c_{31}&c_{32}\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}6 & 5\\[4pt]5 & 4\end{pmatrix} =6\cdot 4 - 5\cdot 5 = 24 - 25 = -1.
Agora aplico a fórmula da expansão com esses valores:
\operatorname{det}\text{(C)}=2\cdot 2 - 5\cdot 1 + 4\cdot(-1).
Calcule passo a passo:
2\cdot 2 = 4,\quad 5\cdot 1 = 5,\quad 4\cdot(-1) = -4.
Portanto
\operatorname{det}\text{(C)}=4 - 5 - 4 = -5.]

Passo 6

Voltando para \operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(A)\,\operatorname{det}\text{(C)}, substituímos os valores que já temos:
\operatorname{det}(B)=4\cdot(-5) = -20.
Boa! Conseguimos reduzir o problema a calcular um determinante 3\times3 e usar a propriedade multiplicativa.

Resposta

(C) -20

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