Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=2 \vec{a}_{1}+6 \vec{a}_{2}+5 \vec{a}_{3}, \vec{b}_{2}=5 \vec{a}_{1}+5 \vec{a}_{2}+4 \vec{a}_{3} e \vec{b}_{3}=4 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=4, assinale o valor do \operatorname{det}(B) :
(A) -28
(B) -24
(C) -20
(D) -16
(E) -12
(F) -8
(G) -4
(H) 0
Passo 1
O enunciado dá que as colunas de A são os vetores \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}\in\mathbb{R}^{3}, e as colunas de B são vetores \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3} que valem:
Também é dado que \operatorname{det}(A)=4. A pergunta é: qual é o valor de \operatorname{det}(B)?\n
Informações relevantes listadas:
As colunas de B são combinações lineares das colunas de A com os coeficientes acima.
Sabemos \operatorname{det}(A)=4.
Precisamos obter \operatorname{det}(B) a partir dessas informações.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente a relação matricial entre A e B. Se cada coluna \vec{b}_j de B é uma combinação linear das colunas \vec{a}_i de A, existe uma matriz C\in\mathbb{R}^{3\times3} tal que
B = A\,C.
Aqui C tem como coluna j o vetor dos coeficientes que combinam \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 para formar \vec{b}_j. Tomando as combinações do enunciado, as colunas de C são
\text{coluna 1 de }C = \begin{pmatrix}2\\\ 6\\\ 5\end{pmatrix},\quad \text{coluna 2 de }C = \begin{pmatrix}5\\\ 5\\\ 4\end{pmatrix},\quad \text{coluna 3 de }C = \begin{pmatrix}4\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix}.
Intuição rápida (não necessária para aplicar): o determinante mede fator de escala de volume; aplicar A e depois C escala o volume por \operatorname{det}(A) e por \operatorname{det}\text{(C)}, então o resultado é o produto. Como B=A\,C, segue que