Q4- Valor Esperado:

Considere a função de onda dada por
psi(x, t)=c A cos pi xa e^-i E thbar para -a2<x<+a2 0 para x <=-a2 ou x >=+a2
onde A é uma constante real e arbitrária e E é a energia total da partícula.
a) Encontre a constante de normalização A;
b) Ache a probabilidade de encontrar a partícula na metade direita do poço.
c) Encontre os valores esperados dos operadores x e x^2.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula no poço infinito de largura
Precisamos (a) normalizar e (c) obter e .

Passo 2

Para normalizar, exigimos
integral-tfraca2^+tfraca2|psi(x,t)|^2,dx =A^2integral-tfraca2^+tfraca2cos^2!l(tfracpi xar),dx =1
Usando cos^2theta=tfrac12(1+cos2theta) obtemos
integral-tfraca2^+tfraca2cos^2!l(tfracpi xar),dx = a2,
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A^2 a2=1 Longrightarrow A=raiz2a

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula na metade direita é
P[0,a/2] =integral0^a/2|psi(x,t)|^2,dx =2aintegral0^a/2cos^2!l(tfracpi xar),dx
Novamente
integral0^a/2cos^2!l(tfracpi xar),dx =a4,
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P[0,a/2] =2acdota4 =12

Passo 4

O valor esperado de x é
lang<= xrang<= =integral-a/2^a/2x,|psi|^2,dx =2aintegral-a/2^a/2xcos^2!l(tfracpi xar),dx
Como xcos^2(pi x/a) é função ímpar em torno de zero, lang<= xrang<==0.

Passo 5

Para lang<= x^2rang<= escrevemos
lang<= x^2rang<= =2aintegral-a/2^a/2x^2cos^2!l(tfracpi xar),dx = 4aintegral0^a/2x^2cos^2!l(tfracpi xar),dx
Usando a mesma identidade de cos^2 e integrando por partes chega-se a
lang<= x^2rang<= =a^2l(tfrac112-tfrac12pi^2r) =a^2(pi^2-6)12pi^2

Resposta

a) A=raiztfrac2a
b) P[0,a/2]=tfrac12
c) lang<= xrang<==0, lang<= x^2rang<==a^2l(tfrac112-tfrac12pi^2r)

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