Q5.24 Você pega duas bolas de tênis idênticas e enche uma delas com água. Você as larga simultaneamente do topo de um prédio alto. Desprezando a resistência do ar, qual das bolas chega primeiro ao solo? Explique. No caso de não desprezarmos a resistência do ar, qual é a resposta?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas: você tem duas bolas de tênis idênticas em forma e tamanho; ambas são largadas simultaneamente do topo de um prédio de altura h; uma das bolas está vazia (massa menor) e a outra está preenchida com água (massa maior). As perguntas são: (A) desprezando a resistência do ar, qual das bolas chega primeiro ao solo? (B) se não desprezarmos a resistência do ar, qual é a resposta?
Informações relevantes listadas: altura de queda h, mesmas dimensões externas das bolas (mesma área frontal A e mesmo coeficiente aerodinâmico C_d), massas diferentes (vou chamar de m_{\text{vazia}} e m_{\text{cheia}}), velocidade inicial v_0=0 (largadas, não arremessadas).

Passo 2

Vamos analisar primeiro o caso em que a resistência do ar é desprezível. Para isso usamos a segunda lei de Newton e as expressões do movimento uniformemente acelerado.
A segunda lei de Newton diz que a soma das forças resultantes sobre um corpo é igual à massa do corpo multiplicada pela sua aceleração; simbolicamente:
\sum F = m a.
Aqui, se desprezamos a resistência do ar, a única força vertical é o peso F_g, que vale
F_g = m g,
onde m é a massa do objeto e g é a aceleração da gravidade (aprox. 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}). Substituindo em \sum F = m a obtemos
m a = m g \quad\Rightarrow\quad a = g.
Ou seja, a aceleração é igual a g e não depende da massa m. Para um objeto largado do repouso ( v_0=0) e deslocando-se verticalmente uma distância h com aceleração constante g, a equação do deslocamento é
h = \tfrac{1}{2} g t^2.
Resolvendo essa equação para o tempo de queda t obtemos
t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.
Note que nessa expressão não aparece a massa m: o tempo de queda no vácuo depende apenas de h e g.

Passo 3

Interpretação didática do resultado anterior: o fato de t não depender de m significa que, desprezando-se a resistência do ar, todos os corpos em queda livre (independentemente da massa) têm o mesmo tempo de queda se largados da mesma altura e com mesma velocidade inicial. Isso vale mesmo que as massas sejam muito diferentes, contanto que não exista força de arrasto.

Passo 4

Agora vamos considerar a resistência do ar (arrasto). Para objetos macroscópicos como uma bola de tênis a velocidades típicas de queda, uma boa aproximação para a força de arrasto na direção oposta ao movimento é:
F_D = \tfrac{1}{2} C_d \rho A v^2,
onde:
  • F_D é a força de arrasto (módulo),
  • C_d é o coeficiente de arrasto (depende da forma; aqui é o mesmo para as duas bolas porque são idênticas externamente),
  • \rho é a densidade do ar,
  • A é a área frontal da bola (mesma para as duas),
  • v é a velocidade instantânea do objeto.
    Com arrasto, a equação de movimento vertical (positivo para baixo) é
m\frac{dv}{dt} = mg - \tfrac{1}{2} C_d \rho A v^2.
Essa equação diz que a massa vezes a aceleração é a diferença entre o peso e a força de arrasto.

Passo 5

Definição e cálculo da velocidade terminal: quando o objeto cai tempo suficiente, a aceleração tende a zero ( dv/dt=0) e a velocidade tende a um valor constante chamado velocidade terminal v_t. Impõe-se mg = \tfrac{1}{2} C_d \rho A v_t^2. Resolvendo para v_t:
v_t = \sqrt{\frac{2 m g}{C_d \rho A}}.
Aqui mostro explicitamente o papel da massa: v_t é proporcional à raiz quadrada de m, isto é v_t\propto\sqrt{m}. Como as duas bolas têm o mesmo C_d, \rho e A, a bola que tem maior massa ( m_{\text{cheia}}) terá maior velocidade terminal do que a bola mais leve ( m_{\text{vazia}}).

Passo 6

Consequência física prática: durante a queda real, a força de arrasto cresce com a velocidade e reduz a aceleração. Para a bola mais pesada o peso mg é maior, enquanto a força de arrasto para uma mesma velocidade é praticamente igual entre as bolas (mesma C_d e A). Portanto a bola mais pesada sofre uma desaceleração relativa menor e alcança uma velocidade maior durante a queda (e tem v_t maior). Mesmo antes de atingir v_t, o balanço mg - F_D é maior para o objeto mais pesado, o que significa maior aceleração líquida e queda mais rápida. Logo, quando a resistência do ar é significativa, a bola com água (mais massiva) chegará antes da bola vazia.
Observação sobre limites: se a altura h for muito pequena, a velocidade atingida pode ser tão baixa que o arrasto é desprezível e o efeito da resistência é praticamente nulo — nesse caso o tempo de queda será quase o mesmo para ambas. Também, a força de empuxo do ar ( F_b=\rho_{\text{ar}} V g) é muito pequena frente aos pesos aqui considerados e age igualmente por volume (as bolas têm mesmo volume), então não muda substancialmente a conclusão; ela apenas reduz o “peso efetivo” em uma pequena quantidade para ambas.

Passo 7

Resumo didático rápido: no vácuo o tempo de queda depende só de h e g, não de m; com arrasto a massa entra na expressão da velocidade terminal e o objeto mais pesado tende a cair mais rápido. Força na prática: se houver ar, a bola cheia de água normalmente vence.

Resposta

Desprezando a resistência do ar: chegam ao mesmo tempo.
Com resistência do ar considerada: a bola com água chega primeiro.

Exercícios relacionados