Q5.24 Você pega duas bolas de tênis idênticas e enche uma delas com água. Você as larga simultaneamente do topo de um prédio alto. Desprezando a resistência do ar, qual das bolas chega primeiro ao solo? Explique. No caso de não desprezarmos a resistência do ar, qual é a resposta?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas: você tem duas bolas de tênis idênticas em forma e tamanho; ambas são largadas simultaneamente do topo de um prédio de altura
; uma das bolas está vazia (massa menor) e a outra está preenchida com água (massa maior). As perguntas são: (A) desprezando a resistência do ar, qual das bolas chega primeiro ao solo? (B) se não desprezarmos a resistência do ar, qual é a resposta?
Informações relevantes listadas: altura de queda , mesmas dimensões externas das bolas (mesma área frontal
e mesmo coeficiente aerodinâmico
), massas diferentes (vou chamar de
e
), velocidade inicial
(largadas, não arremessadas).
Informações relevantes listadas: altura de queda
Passo 2
Vamos analisar primeiro o caso em que a resistência do ar é desprezível. Para isso usamos a segunda lei de Newton e as expressões do movimento uniformemente acelerado.
A segunda lei de Newton diz que a soma das forças resultantes sobre um corpo é igual à massa do corpo multiplicada pela sua aceleração; simbolicamente:
A segunda lei de Newton diz que a soma das forças resultantes sobre um corpo é igual à massa do corpo multiplicada pela sua aceleração; simbolicamente:
Aqui, se desprezamos a resistência do ar, a única força vertical é o peso
, que vale
onde
é a massa do objeto e
é a aceleração da gravidade (aprox.
). Substituindo em
obtemos
Ou seja, a aceleração é igual a
e não depende da massa
. Para um objeto largado do repouso (
) e deslocando-se verticalmente uma distância
com aceleração constante
, a equação do deslocamento é
Resolvendo essa equação para o tempo de queda
obtemos
Note que nessa expressão não aparece a massa
: o tempo de queda no vácuo depende apenas de
e
.
Passo 3
Interpretação didática do resultado anterior: o fato de
não depender de
significa que, desprezando-se a resistência do ar, todos os corpos em queda livre (independentemente da massa) têm o mesmo tempo de queda se largados da mesma altura e com mesma velocidade inicial. Isso vale mesmo que as massas sejam muito diferentes, contanto que não exista força de arrasto.
Passo 4
Agora vamos considerar a resistência do ar (arrasto). Para objetos macroscópicos como uma bola de tênis a velocidades típicas de queda, uma boa aproximação para a força de arrasto na direção oposta ao movimento é:
onde:
-
é a força de arrasto (módulo), -
é o coeficiente de arrasto (depende da forma; aqui é o mesmo para as duas bolas porque são idênticas externamente), -
é a densidade do ar, -
é a área frontal da bola (mesma para as duas), -
é a velocidade instantânea do objeto.
Com arrasto, a equação de movimento vertical (positivo para baixo) é
Essa equação diz que a massa vezes a aceleração é a diferença entre o peso e a força de arrasto.
Passo 5
Definição e cálculo da velocidade terminal: quando o objeto cai tempo suficiente, a aceleração tende a zero (
) e a velocidade tende a um valor constante chamado velocidade terminal
. Impõe-se
. Resolvendo para
:
Aqui mostro explicitamente o papel da massa:
é proporcional à raiz quadrada de
, isto é
. Como as duas bolas têm o mesmo
,
e
, a bola que tem maior massa (
) terá maior velocidade terminal do que a bola mais leve (
).
Passo 6
Consequência física prática: durante a queda real, a força de arrasto cresce com a velocidade e reduz a aceleração. Para a bola mais pesada o peso
é maior, enquanto a força de arrasto para uma mesma velocidade é praticamente igual entre as bolas (mesma
e
). Portanto a bola mais pesada sofre uma desaceleração relativa menor e alcança uma velocidade maior durante a queda (e tem
maior). Mesmo antes de atingir
, o balanço
é maior para o objeto mais pesado, o que significa maior aceleração líquida e queda mais rápida. Logo, quando a resistência do ar é significativa, a bola com água (mais massiva) chegará antes da bola vazia.
Observação sobre limites: se a altura for muito pequena, a velocidade atingida pode ser tão baixa que o arrasto é desprezível e o efeito da resistência é praticamente nulo — nesse caso o tempo de queda será quase o mesmo para ambas. Também, a força de empuxo do ar (
) é muito pequena frente aos pesos aqui considerados e age igualmente por volume (as bolas têm mesmo volume), então não muda substancialmente a conclusão; ela apenas reduz o “peso efetivo” em uma pequena quantidade para ambas.
Observação sobre limites: se a altura
Passo 7
Resumo didático rápido: no vácuo o tempo de queda depende só de
e
, não de
; com arrasto a massa entra na expressão da velocidade terminal e o objeto mais pesado tende a cair mais rápido. Força na prática: se houver ar, a bola cheia de água normalmente vence.
Resposta
Desprezando a resistência do ar: chegam ao mesmo tempo.
Com resistência do ar considerada: a bola com água chega primeiro.
Com resistência do ar considerada: a bola com água chega primeiro.