Q5.28 “Uma bola é lançada da extremidade de uma montanha elevada. Independentemente do ângulo de lançamento, em virtude da resistência do ar, ela por fim cairá verticalmente de cima para baixo.” Justifique essa afirmação.

Passo 1

O enunciado diz: “Uma bola é lançada da extremidade de uma montanha elevada. Independentemente do ângulo de lançamento, em virtude da resistência do ar, ela por fim cairá verticalmente de cima para baixo.”
O que se pede: justificar por que, com resistência do ar presente, a trajetória da bola tende a uma queda vertical (isto é, a trajetória aproxima-se de uma linha vertical) quando o tempo fica grande.
Informações e hipóteses implícitas que vamos usar (todas listadas, sem resolver ainda):
  • A bola está sujeita à gravidade (força vertical para baixo) e à resistência do ar (força de arrasto que depende da velocidade e aponta em sentido oposto ao vetor velocidade).
  • Partimos de uma posição elevada (montanha), então há tempo suficiente para efeitos assintóticos aparecerem.
  • Não há outras forças horizontais contínuas (vento permanente, impulso etc.).
  • Podemos modelar a resistência do ar de forma simples para fazer cálculo explícito (modelo linear \propto velocidade) e depois comentar o caso mais realista (arrasto quadrático \propto v^2).

Passo 2

Escolhemos um sistema de referência simples e escrevemos as forças (aqui começa a modelagem matemática):
  • Eixo x horizontal (positiva para a frente do lançamento).
  • Eixo y vertical (positiva para cima).
    Seja m a massa da bola. Denotemos a velocidade por \vec{v}(t)=(v_x(t),v_y(t)). A resistência do ar é uma força \vec{F}_D oposta a \vec{v}. Primeiro modelamos com arrasto linear: \vec{F}_D = -k\,\vec{v} com constante k>0. (Isso simplifica e já deixa clara a ideia física; depois generalizamos qualitativamente.) Não resolvemos ainda, só deixamos as equações prontas.

Passo 3

Escrevemos as equações de movimento (segunda lei de Newton) com o arrasto linear:
para x:
m\frac{dv_x}{dt} = -k\,v_x.
para y:
m\frac{dv_y}{dt} = -mg - k\,v_y,
onde g é a aceleração da gravidade (positiva) e o sinal -mg representa a força peso para baixo (lembrando que escolhemos y positivo para cima). Essas equações são ODEs lineares de primeira ordem — nada de complicado até aqui.

Passo 4

Resolva a equação do componente horizontal v_x. A equação é
\frac{dv_x}{dt} = -\frac{k}{m} v_x.
Isto é uma equação do tipo \frac{du}{dt} = -\lambda u com \lambda=\frac{k}{m}>0. A solução geral é exponencial:
v_x(t)=v_{x0}\,e^{-(k/m)t},
onde v_{x0}=v_x(0) é o componente horizontal inicial da velocidade. Interpretação didática: a resistência do ar causa uma desaceleração proporcional à velocidade horizontal, provocando um decaimento exponencial. Como e^{-(k/m)t}\to 0 quando t\to\infty, deduzimos que
\lim_{t\to\infty} v_x(t)=0.
Ou seja: o componente horizontal da velocidade tende a zero.

Passo 5

Mostre que a coordenada horizontal tende a um limite finito (a bola deixa de se deslocar horizontalmente): integrando v_x(t) obtemos a posição x(t). Tomando x(0)=x_0,
x(t)=x_0+\int_0^t v_{x0}\,e^{-(k/m)s}\,ds = x_0 + v_{x0}\frac{m}{k}\bigl(1-e^{-(k/m)t}\bigr).
Portanto existe o limite quando t\to\infty:
x_\infty=\lim_{t\to\infty} x(t)=x_0 + v_{x0}\frac{m}{k},
um número finito. Interpretação: a bola desloca-se horizontalmente apenas até um valor limitado; depois esse deslocamento horizontal praticamente cessa.

Passo 6

Resolva a equação vertical para ver o comportamento assintótico de v_y. A equação é
\frac{dv_y}{dt} = -g - \frac{k}{m}v_y.
Trata-se de uma ODE linear não-homogênea. A solução geral (com v_y(0)=v_{y0}) é
v_y(t)=\bigl(v_{y0}+\tfrac{m g}{k}\bigr)e^{-(k/m)t} - \tfrac{m g}{k}.
Logo, ao levar t\to\infty,
\lim_{t\to\infty} v_y(t)= -\frac{m g}{k}.
Esse valor é a chamada velocidade terminal (negativa indica direção para baixo). Ou seja, para tempos grandes a velocidade vertical tende a um valor constante para baixo.

Passo 7

Combinando resultados temos o comportamento assintótico da trajetória:
  • v_x(t)\to 0 e x(t)\to x_\infty finito.
  • v_y(t)\to v_{\text{term}}=-\dfrac{m g}{k} (constante negativa), e a posição vertical para grandes t comporta-se como
y(t)\approx y_\infty + v_{\text{term}}\,t
para algum y_\infty (ou seja, continua descendo com velocidade praticamente constante). Portanto, para tempos grandes a trajetória aproxima-se da reta vertical x=x_\infty com o movimento apenas na direção y para baixo. Essa é a justificativa matemática no caso do arrasto linear: a componente horizontal é eliminada exponencialmente, e resta apenas o movimento vertical.

Passo 8

Explicação física simples e intuitiva (útil para a prova): a resistência do ar sempre tem componente oposta ao movimento. Enquanto houver velocidade horizontal, haverá uma componente do arrasto que trava essa velocidade. A energia cinética horizontal é continuamente dissipada pelo arrasto até que o componente horizontal se torne praticamente nulo. Já a gravidade fornece continuamente aceleração vertical para baixo, mas o arrasto vertical equilibra isso num fluxo eventual (velocidade terminal). Assim, no longo prazo sobra apenas a velocidade vertical para baixo — a bola “cai verticalmente”. Isso funciona sempre que a resistência do ar tem a propriedade de dissipar energia e de se opor ao movimento (modelos físicos como arrasto linear ou arrasto quadrático têm essa propriedade).

Passo 9

Comentário sobre arrasto quadrático (modelo mais realista) e generalidade: com arrasto proporcional a v^2 o sistema é não linear:
m\frac{d\vec v}{dt} = -m g\,\hat{\jmath} - C_d\,\|\vec v\|\,\vec v,
onde C_d>0 e \|\vec v\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. Não é tão trivial resolver explicitamente, mas o raciocínio qualitativo permanece: enquanto v_x\neq 0 existe uma componente horizontal negativa de aceleração dada pelo termo -C_d\|\vec v\| v_x, o que tende a reduzir v_x a zero; o arrasto completa a dissipação do componente horizontal. Estudos e simulações mostram que para t\to\infty também se tem v_x\to 0 e v_y tende a uma velocidade terminal negativa, e x(t) tende a um limite finito. Portanto o resultado é qualitativamente o mesmo para o arrasto quadrático. Exceções possíveis: presença de vento constante lateral (força horizontal contínua) ou forças externas que mantenham componente horizontal diferente de zero; sem essas exceções, a conclusão vale.

Resposta

Porque a resistência do ar tem componente sempre oposta ao movimento e então faz o componente horizontal da velocidade decair até zero (no caso linear v_x(t)=v_{x0}e^{-(k/m)t} e x(t)\to x_0+v_{x0}m/k), enquanto a componente vertical tende a uma velocidade terminal para baixo ( v_y\to -mg/k); assim a trajetória aproxima-se da reta vertical x=x_\infty e a bola acaba caindo verticalmente.

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