Q5.26 Para manter dentro de certos limites as forças que atuam sobre os passageiros de uma montanha-russa, uma curva projetada para fazer uma volta completa (loop-the-loop) deve possuir, em vez de ser um círculo vertical perfeito, um raio de curvatura na base maior do que o raio de curvatura no topo. Explique.
Passo 1
O enunciado diz que, para limitar as forças sentidas pelos passageiros num loop-the-loop, não se deve usar um círculo vertical perfeito, mas sim um perfil em que o raio de curvatura na base seja maior que o do topo. O que precisamos usar é o princípio de conservação de energia (para relacionar as velocidades no topo e na base) e a dinâmica do movimento circular não uniforme (para escrever a força normal em ambos os pontos).
Passo 2
Pela conservação de energia mecânica, desprezando atrito, entre o ponto mais baixo (altura zero, velocidade
) e o topo do loop (altura
, velocidade
) temos
No caso de um loop com raio na base
e no topo
, a altura entre base e topo é aproximadamente
logo
Passo 3
Em cada ponto a força normal
deve fornecer a aceleração centrípeta necessária além do peso.
- Na base (curvatura para cima), a soma das forças na direção vertical dá
- No topo (curvatura invertida), as forças apontam para baixo, então
Para que
não fique negativa (passageiro perde contato) e
não ultrapasse o limite confortável, precisamos ajustar
e
.
Passo 4
Como
(pela conversão de altura em velocidade), o termo
tende a ser bem maior que
. Para manter
dentro de limites seguros, usamos um
maior, diminuindo a aceleração centrípeta na base. Já no topo, como queremos garantir
mesmo com
menor, podemos ter
também menor, pois aí basta que
para o passageiro não se soltar. Conclui-se que a forma ideal é com
.
Resposta
A curva deve ter raio maior na base (
) do que no topo (
) porque a velocidade na base é maior, exigindo menor aceleração centrípeta
para não gerar forças excessivas nos passageiros, enquanto no topo a velocidade é menor e permite raio menor sem risco de perda de contato.