Q5.26 Para manter dentro de certos limites as forças que atuam sobre os passageiros de uma montanha-russa, uma curva projetada para fazer uma volta completa (loop-the-loop) deve possuir, em vez de ser um círculo vertical perfeito, um raio de curvatura na base maior do que o raio de curvatura no topo. Explique.

Passo 1

O enunciado diz que, para limitar as forças sentidas pelos passageiros num loop-the-loop, não se deve usar um círculo vertical perfeito, mas sim um perfil em que o raio de curvatura na base seja maior que o do topo. O que precisamos usar é o princípio de conservação de energia (para relacionar as velocidades no topo e na base) e a dinâmica do movimento circular não uniforme (para escrever a força normal em ambos os pontos).

Passo 2

Pela conservação de energia mecânica, desprezando atrito, entre o ponto mais baixo (altura zero, velocidade vb) e o topo do loop (altura h, velocidade vt) temos
12 m vb^2 = 12 m vt^2 + m g h
No caso de um loop com raio na base Rb e no topo Rt, a altura entre base e topo é aproximadamente
h = Rb + Rt,
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vb^2 = vt^2 + 2 g l(Rb + Rtr)

Passo 3

Em cada ponto a força normal N deve fornecer a aceleração centrípeta necessária além do peso.
  • Na base (curvatura para cima), a soma das forças na direção vertical dá
Nb - m g = m vb^2Rb Longrightarrow Nb = m!l(vb^2Rb + gr)
  • No topo (curvatura invertida), as forças apontam para baixo, então
m g + Nt = m vt^2Rt Longrightarrow Nt = m!l(vt^2Rt - gr)
Para que Nt não fique negativa (passageiro perde contato) e Nb não ultrapasse o limite confortável, precisamos ajustar Rb e Rt.

Passo 4

Como vb > vt (pela conversão de altura em velocidade), o termo vb^2/Rb tende a ser bem maior que vt^2/Rt. Para manter Nb dentro de limites seguros, usamos um Rb maior, diminuindo a aceleração centrípeta na base. Já no topo, como queremos garantir Nt>=0 mesmo com vt menor, podemos ter Rt também menor, pois aí basta que
vt^2Rt<= g
para o passageiro não se soltar. Conclui-se que a forma ideal é com Rb>Rt.

Resposta

A curva deve ter raio maior na base ( Rb) do que no topo ( Rt) porque a velocidade na base é maior, exigindo menor aceleração centrípeta l(vb^2/Rbr) para não gerar forças excessivas nos passageiros, enquanto no topo a velocidade é menor e permite raio menor sem risco de perda de contato.

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