Q6.9 Uma força \overrightarrow{\boldsymbol{F}} está na direção do eixo x e seu módulo depende de x. Faça um gráfico possível de F versus x, de modo que a força realize um trabalho igual a zero sobre um objeto que se move de x_{1} a x_{2}, embora o módulo da força não seja nulo em nenhum ponto x desse intervalo.
Passo 1
O que o enunciado pede: fazer um gráfico possível de F versus x tal que o trabalho realizado pela força sobre um objeto que se desloca de x_{1} até x_{2} seja igual a zero, mesmo que o módulo da força não seja zero em nenhum ponto do intervalo [x_{1},x_{2}].
Informações que o enunciado dá:
A força \overrightarrow{F} está na direção do eixo x (ou seja, \overrightarrow{F}=F(x)\,\hat{\imath} para algum F(x) que depende de x).
O módulo da força depende de x.
Queremos um gráfico F versus x que produza trabalho nulo ao mover-se de x_{1} a x_{2}.
Condição extra: o módulo da força não é nulo em nenhum ponto do intervalo [x_{1},x_{2}] (isto é, |F(x)|\neq 0 para todo x em [x_{1},x_{2}]).
Passo 2
Conceito de trabalho e fórmula útil (aula curta e direta):
Quando a força está ao longo do eixo x, o trabalho realizado ao mover o objeto de x_{1} a x_{2} é dado por
W=\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(x)\,dx.
Aqui F(x) é a componente da força na direção x (pode ser positiva ou negativa), x é a coordenada e dx é o deslocamento infinitesimal. O resultado W tem sinal: áreas onde F(x)>0 contribuem positivamente, onde F(x)<0 contribuem negativamente. Em termos geométricos, W é a área algébrica sob a curva F(x) entre x_{1} e x_{2}.
O que garante W=0?
Para que \int_{x_{1}}^{x_{2}} F(x)\,dx=0, as áreas positivas e negativas sob a curva devem se cancelar exatamente.
Se F(x) for contínua e trocar de sinal, então em algum ponto F(x)=0 (Teorema do valor intermediário). Mas o enunciado exige |F(x)|\neq 0 em todo o intervalo, então não podemos usar uma função contínua que troque de sinal (essa iria zerar em algum ponto).
Uma maneira simples de contornar isso é permitir uma mudança de sinal por meio de uma função descontínua: por exemplo, F(x) positiva numa subfaixa e F(x) negativa noutra subfaixa, com valores constantes (ou não nulos) em cada subfaixa. A descontinuidade no ponto de mudança de sinal não implica que exista um x com F(x)=0 — desde que em cada lado da descontinuidade o valor seja \pm alguma constante não nula.
Passo 3
Construção explícita (exemplo simples para desenhar):
Seja F_{0}>0\) uma constante (módulo da força).
- Defina um ponto intermediário \(x_{m}\) tal que o comprimento da parte onde \(F\) é positiva é igual ao comprimento da parte onde \(F\) é negativa. A escolha mais simples é tomar
\[x_{m}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}.
Definimos a função peça-a-peça
F(x)=\begin{cases} +F_{0}, & x_{1}\le x < x_{m},\\[4pt] -\,F_{0}, & x_{m}\le x \le x_{2}. \end{cases}
Observações: em x_{m}\] podemos escolher que \(F(x_{m})=-F_{0} ou F(x_{m})=+F_{0}; isso não altera a integral (um ponto tem medida zero). Em todos os pontos do intervalo [x_{1},x_{2}] temos |F(x)|=F_{0}\neq 0, portanto a condição do enunciado é satisfeita.]
Passo 4
Cálculo do trabalho para essa escolha (mostrando que dá zero):
Como escolhemos x_{m} como ponto médio, x_{m}-x_{1}=x_{2}-x_{m}=\tfrac{x_{2}-x_{1}}{2}. Logo
W = F_{0}\left(\tfrac{x_{2}-x_{1}}{2}\right) - F_{0}\left(\tfrac{x_{2}-x_{1}}{2}\right)=0.
Portanto o trabalho é zero, conforme pedido.
Passo 5
Como desenhar o gráfico (instruções práticas para a prova):
No eixo horizontal coloque x com marcas em x_{1}, x_{m}=\tfrac{x_{1}+x_{2}}{2} e x_{2}.
No eixo vertical coloque F.
Para x entre x_{1} e x_{m}, desenhe um retângulo de altura +F_{0} (acima do eixo x).
Para x entre x_{m} e x_{2}, desenhe um retângulo de altura -F_{0} (abaixo do eixo x).
Certifique-se de indicar que em toda a faixa [x_{1},x_{2}] a magnitude |F(x)| é F_{0} (ou seja, nunca zero).
Legende: áreas positiva e negativa têm a mesma largura e a mesma altura em módulo, então se anulam.
Passo 6
Comentários finais e alternativas rápidas:
Essa solução usa uma descontinuidade na mudança de sinal; isso é perfeitamente aceitável no enunciado porque só se pediu um gráfico possível e permitiu que F varie com x. Uma alternativa contínua que faça \int_{x_{1}}^{x_{2}} F(x)\,dx=0 (por exemplo, uma função senoidal completa) teria necessariamente pontos onde F(x)=0, o que violaria a condição |F(x)|\neq 0 em todo o intervalo. Por isso a construção peça‑a‑peça é a mais simples e adequada aqui.
Respira fundo: é só equilibrar as áreas positiva e negativa — pensa sempre em integral como área algébrica!
Resposta
Um gráfico possível é o de uma função peça‑a‑peça constante com áreas positivas e negativas iguais, por exemplo
F(x)=\begin{cases} +F_{0}, & x_{1}\le x < \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\\[6pt] -\,F_{0}, & \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\le x \le x_{2}, \end{cases}
com F_{0}>0. Nesse caso \displaystyle W=\int_{x_{1}}^{x_{2}}F(x)\,dx=0 e |F(x)|=F_{0}\neq 0 para todo x\in[x_{1},x_{2}].]