Q1. Dada a função f(x)=2 x^{2}+3 :
a) ( 1,0 ponto) Usando a definição, determine a derivada de f(x) em x=4.
b) ( 1,0 ponto) Ache as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto (4,35).

Passo 1

O enunciado dá f(x)=2x^2+3 e pede (a) a derivada em x=4 usando a definição de limite de derivada, e (b) as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto (4,35). O conteúdo é cálculo diferencial: definição de derivada e geometria da reta tangente/normal.

Passo 2

Pela definição de derivada em x=4 temos
f'(4)=\lim_{h\to0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h}.
Calculamos f(4+h)=2(4+h)^2+3 e f(4)=2\cdot4^2+3=35.

Passo 3

Expandindo e simplificando o numerador:
f(4+h)-f(4) =2(16+8h+h^2)+3-35 =32+16h+2h^2+3-35 =16h+2h^2.
Logo
\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=16+2h,
e fazendo h\to0 obtemos
f'(4)=16.

Passo 4

A reta tangente em (4,35) tem coeficiente angular m_t=f'(4)=16. Pela forma ponto-inclinação:
y-35=16\,(x-4).

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é
m_n=-\frac1{m_t}=-\frac1{16}.
Pela forma ponto-inclinação:
y-35=-\frac{1}{16}(x-4).

Resposta

(a) f'(4)=16.
(b) reta tangente: y-35=16(x-4).
reta normal: y-35=-\tfrac{1}{16}(x-4).

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