Q1. Dada a função
:
a) ( 1,0 ponto) Usando a definição, determine a derivada de
em
.
b) ( 1,0 ponto) Ache as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto
.
a) ( 1,0 ponto) Usando a definição, determine a derivada de
b) ( 1,0 ponto) Ache as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá
e pede (a) a derivada em
usando a definição de limite de derivada, e (b) as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto
. O conteúdo é cálculo diferencial: definição de derivada e geometria da reta tangente/normal.
Passo 2
Pela definição de derivada em
temos
Calculamos
e
.
Passo 3
Expandindo e simplificando o numerador:
Logo
e fazendo
obtemos
Passo 4
A reta tangente em
tem coeficiente angular
. Pela forma ponto-inclinação:
Passo 5
A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é
Pela forma ponto-inclinação:
Resposta
(a)
.
(b) reta tangente: .
reta normal: .
(b) reta tangente:
reta normal: