Q6.23 Quando uma certa força é aplicada a uma mola ideal, a mola se alonga por uma distância x a partir de seu comprimento sem deformação e produz trabalho W. Caso seja aplicado o dobro da força, por qual distância (em termos de x ) a mola se alonga a partir de seu comprimento sem deformação e qual é o trabalho (em termos de W ) necessário para alongá-la por essa distância?

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (vou listar bem claro o que está sendo pedido e o que já sabemos):
  • Foi aplicada uma certa força (vou chamar de \!F) a uma mola ideal e, como resultado, a mola se alongou por uma distância \!x a partir do comprimento sem deformação.
  • Para esse alongamento de \!x, a mola produziu trabalho igual a \!W.
  • Perguntas: (1) se a força aplicada for o dobro, isto é \!2F, por qual distância (em termos de \!x) a mola se alonga a partir do comprimento sem deformação? (2) qual é o trabalho (em termos de \!W) necessário para alongá-la por essa nova distância?

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicado passo a passo): a mola ideal obedece à relação linear entre força e deformação, chamada de lei de Hooke. Escrevemos isso como:
F = kx,
onde:
  • \!F é a força aplicada (em newtons, por exemplo),
  • \!x é a deformação (alongamento) da mola (em metros),
  • \!k é a constante elástica da mola, também chamada de rigidez (em newtons por metro).
    Aqui \!k é uma constante que caracteriza a mola; para a mesma mola, \!k não muda. A relação significa que, para uma mola ideal, força e deslocamento são proporcionais.

Passo 3

Expressar \!k a partir dos dados dados:
k = \frac{F}{x}.
Isso vem de resolver \!F=kx para \!k. Guarde essa forma porque vamos precisar quando a força mudar.

Passo 4

Fórmula do trabalho realizado para alongar a mola: como a força da mola varia linearmente com a posição (não é constante), o trabalho necessário para levar a mola do repouso até um alongamento \!x é a integral da força elástica (ou da força externa que vence a elástica) ao longo do deslocamento. Tomando uma variável de integração \!x' que vai de 0 a \!x,
W=\int_{0}^{x} kx'\,dx'.
Calcule a integral:
W = k \int_{0}^{x} x'\,dx' = k\left[\tfrac{1}{2}{x'}^{2}\right]_{0}^{x} = \tfrac{1}{2}k x^{2}.
Também podemos relacionar com a força final \!F=kx:
W = \tfrac{1}{2}k x^{2} = \tfrac{1}{2} (kx) x = \tfrac{1}{2} F x.
Portanto, a expressão que conecta \!W, \!k e \!x é \displaystyle W=\tfrac{1}{2}k x^{2}. Esse é o \emph{W} dado no enunciado.

Passo 5

Agora aplicamos o dobro da força: \!F' = 2F. Usamos a lei de Hooke para encontrar a nova deformação \!x':
F' = k x' \quad\Rightarrow\quad 2F = k x'.
Substituindo F = kx (do caso inicial) ou isolando x' pelo \!k encontrado em Passo 3:
x' = \frac{2F}{k} = 2\cdot\frac{F}{k} = 2x.
Logo, a nova deformação é \displaystyle x' = 2x. (Intuição: dobrando a força numa mola linear a deformação também dobra.)

Passo 6

Calcular o trabalho necessário para alongar a mola até \!x'=2x. Usamos novamente a fórmula do trabalho:
W' = \tfrac{1}{2}k {x'}^{2} = \tfrac{1}{2}k (2x)^{2} = \tfrac{1}{2}k \cdot 4x^{2} = 4\left(\tfrac{1}{2}k x^{2}\right).
Mas \tfrac{1}{2}k x^{2} é precisamente o trabalho inicial \!W. Portanto
W' = 4W.
Observação prática: você também pode ver isso pela fórmula W=\tfrac12 F x. Como F dobra e x dobra, W multiplica por 2\cdot 2 = 4.

Resposta

2x
4W

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