Q6.23 Quando uma certa força é aplicada a uma mola ideal, a mola se alonga por uma distância
a partir de seu comprimento sem deformação e produz trabalho
. Caso seja aplicado o dobro da força, por qual distância (em termos de
) a mola se alonga a partir de seu comprimento sem deformação e qual é o trabalho (em termos de
) necessário para alongá-la por essa distância?
Passo 1
O enunciado dá o seguinte (vou listar bem claro o que está sendo pedido e o que já sabemos):
- Foi aplicada uma certa força (vou chamar de
) a uma mola ideal e, como resultado, a mola se alongou por uma distância a partir do comprimento sem deformação. - Para esse alongamento de
, a mola produziu trabalho igual a . - Perguntas: (1) se a força aplicada for o dobro, isto é
, por qual distância (em termos de ) a mola se alonga a partir do comprimento sem deformação? (2) qual é o trabalho (em termos de ) necessário para alongá-la por essa nova distância?
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicado passo a passo): a mola ideal obedece à relação linear entre força e deformação, chamada de lei de Hooke. Escrevemos isso como:
onde:
-
é a força aplicada (em newtons, por exemplo), -
é a deformação (alongamento) da mola (em metros), -
é a constante elástica da mola, também chamada de rigidez (em newtons por metro).
Aquié uma constante que caracteriza a mola; para a mesma mola, não muda. A relação significa que, para uma mola ideal, força e deslocamento são proporcionais.
Passo 3
Expressar
a partir dos dados dados:
Isso vem de resolver
para
. Guarde essa forma porque vamos precisar quando a força mudar.
Passo 4
Fórmula do trabalho realizado para alongar a mola: como a força da mola varia linearmente com a posição (não é constante), o trabalho necessário para levar a mola do repouso até um alongamento
é a integral da força elástica (ou da força externa que vence a elástica) ao longo do deslocamento. Tomando uma variável de integração
que vai de
a
,
Calcule a integral:
Também podemos relacionar com a força final
:
Portanto, a expressão que conecta
,
e
é
. Esse é o \emph{W} dado no enunciado.
Passo 5
Agora aplicamos o dobro da força:
. Usamos a lei de Hooke para encontrar a nova deformação
:
Substituindo
(do caso inicial) ou isolando
pelo
encontrado em Passo 3:
Logo, a nova deformação é
. (Intuição: dobrando a força numa mola linear a deformação também dobra.)
Passo 6
Calcular o trabalho necessário para alongar a mola até
. Usamos novamente a fórmula do trabalho:
Mas
é precisamente o trabalho inicial
. Portanto
Observação prática: você também pode ver isso pela fórmula
. Como
dobra e
dobra,
multiplica por
.