(Q6-ITA/1999) Sejam f, g, h: R → R funções tais que a função composta hogof: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é a função identidade. Considere as afirmações:
I. A função h é sobrejetora.
II. Se \mathrm{x}_{0} \in \mathbb{R} é tal que \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=0, então \mathrm{f}(\mathrm{x}) \neq 0 para todo \mathrm{x} \in \mathbb{R} com \mathrm{x} \neq \mathrm{x}_{0}.
III. A equação h(x)=0 tem solução em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para avaliar a veracidade das afirmações I, II e III.
  • Dado: funções f,g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tais que
h\circ g\circ f=\mathrm{id}_{\mathbb{R}}.
Isto significa que, para todo x\in\mathbb{R},
(h\circ g\circ f)(x)=x.
As afirmações a serem julgadas são:
  • I. A função h é sobrejetora.
  • II. Se x_{0}\in\mathbb{R} é tal que f(x_{0})=0, então f(x)\neq 0 para todo x\in\mathbb{R} com x\neq x_{0}.
  • III. A equação h(x)=0 tem solução em \mathbb{R}.

Passo 2

Relembrando definições (para não deixar dúvida sobre o que vou usar):
  • Definição de sobrejetora (onto): uma função p:A\to B é sobrejetora se, para todo y\in B, existe pelo menos um x\in A tal que p(x)=y. Em símbolos:
p\\ \text{é sobrejetora} \iff \forall y\in B\\ \exists x\in A:\\ p(x)=y.é
  • Definição de injetora (one-to-one): uma função q:A\to B é injetora se nunca manda dois elementos distintos de A para o mesmo elemento de B. Em símbolos:
q\\ \text{é injetora} \iff \forall x_1,x_2\in A,\\ q(x_1)=q(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.é
Estas definições serão usadas diretamente na prova das afirmações.

Passo 3

Prova da afirmação I (mostrar que h é sobrejetora).
Tomemos um elemento arbitrário y\in\mathbb{R}. Como f,g estão definidas em \mathbb{R}, o valor g(f(y)) existe e pertence a \mathbb{R}. Pelo dado h\circ g\circ f=\mathrm{id}_{\mathbb{R}}, temos
h\bigl(g(f(y))\bigr)=y.
Isto mostra que, para cada y\in\mathbb{R}, existe z=g(f(y))\in\mathbb{R} tal que h(z)=y. Pela definição de sobrejetora, concluímos que h é sobrejetora. Portanto a afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Prova de uma consequência útil: g\circ f é injetora.
Suponha x_1,x_2\in\mathbb{R} e que
(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2).
Aplicando h aos dois lados e usando h\circ g\circ f=\mathrm{id}_{\mathbb{R}}, obtemos
h\bigl((g\circ f)(x_1)\bigr)=h\bigl((g\circ f)(x_2)\bigr) \quad\Rightarrow\quad x_1=x_2.
Logo g\circ f é injetora.

Passo 5

A partir da injetividade de g\circ f mostro que f é injetora, e isso resolve a afirmação II.
Mostro: se f(x_1)=f(x_2), então aplicando g obtemos (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2). Como g\circ f é injetora, segue x_1=x_2. Isso é exatamente a definição de injetividade para f. Portanto f é injetora.
Agora uso isso para II. Suponha que existe x_{0} tal que f(x_{0})=0. Se existisse x\neq x_{0} com f(x)=0, então f(x)=f(x_{0}) com x\neq x_{0}, o que contradiz a injetividade de f. Assim não existe outro x\neq x_{0} com f(x)=0. Logo a afirmação II é verdadeira.

Passo 6

Prova da afirmação III (existência de solução de h(x)=0).
Como já provado em

Resposta

I. Verdadeira
II. Verdadeira
III. Verdadeira

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