(Q6-ITA/1999) Sejam f, g, h: R → R funções tais que a função composta hogof:
é a função identidade. Considere as afirmações:
I. A função
é sobrejetora.
II. Se
é tal que
, então
para todo
com
.
III. A equação
tem solução em
.
I. A função
II. Se
III. A equação
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para avaliar a veracidade das afirmações I, II e III.
- Dado: funções
tais que
Isto significa que, para todo
,
As afirmações a serem julgadas são:
- I. A função
é sobrejetora. - II. Se
é tal que , então para todo com . - III. A equação
tem solução em .
Passo 2
Relembrando definições (para não deixar dúvida sobre o que vou usar):
- Definição de sobrejetora (onto): uma função
é sobrejetora se, para todo , existe pelo menos um tal que . Em símbolos:
- Definição de injetora (one-to-one): uma função
é injetora se nunca manda dois elementos distintos de para o mesmo elemento de . Em símbolos:
Estas definições serão usadas diretamente na prova das afirmações.
Passo 3
Prova da afirmação I (mostrar que
é sobrejetora).
Tomemos um elemento arbitrário
. Como
estão definidas em
, o valor
existe e pertence a
. Pelo dado
, temos
Isto mostra que, para cada
, existe
tal que
. Pela definição de sobrejetora, concluímos que
é sobrejetora. Portanto a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Prova de uma consequência útil:
é injetora.
Suponha
e que
Aplicando
aos dois lados e usando
, obtemos
Logo
é injetora.
Passo 5
A partir da injetividade de
mostro que
é injetora, e isso resolve a afirmação II.
Mostro: se
, então aplicando
obtemos
. Como
é injetora, segue
. Isso é exatamente a definição de injetividade para
. Portanto
é injetora.
Agora uso isso para II. Suponha que existe
tal que
. Se existisse
com
, então
com
, o que contradiz a injetividade de
. Assim não existe outro
com
. Logo a afirmação II é verdadeira.
Passo 6
Prova da afirmação III (existência de solução de
).
Como já provado em
Resposta
I. Verdadeira
II. Verdadeira
III. Verdadeira
II. Verdadeira
III. Verdadeira