Q6: Sabemos que existe P inversível tal que:
\left[\begin{array}{rrr}-5 & -6 & 2 \\\\ 2 & 3 & -2 \\\\ 8 & 9 & 4\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{rrr}-3 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & 0 \\\\ 0 & 0 & b\end{array}\right] P^{-1} \quad com \quad a<b.
A 3{ }^{\mathrm{a}} coluna da matriz P é múltipla de:
(A) \left[\begin{array}{r}-1 \\\ \star \\\\ -2\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}-1 \\\ \star \\\\ -1\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}-1 \\\ \star \\\\ 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}-1 \\\ \star \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
\begin{pmatrix}-5 & -6 & 2 \\[4pt] 2 & 3 & -2 \\[4pt] 8 & 9 & 4\end{pmatrix} = P \begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & a & 0 \\[4pt] 0 & 0 & b\end{pmatrix} P^{-1},
com P inversível e a<b. Pede‑se: a 3 ^\mathrm{a} coluna de P é múltipla de qual dos vetores abaixo?
(A) \begin{pmatrix}-1 \\\ \star \\\\ -2\end{pmatrix}
(B) \begin{pmatrix}-1 \\\ \star \\\\ -1\end{pmatrix}
(C) \begin{pmatrix}-1 \\\ \star \\\\ 0\end{pmatrix}
(D) \begin{pmatrix}-1 \\\ \star \\\\ 1\end{pmatrix}
Informações relevantes do enunciado:
  • Existe P inversível que diagonaliza a matriz A=\begin{pmatrix}-5 & -6 & 2 \\\\ 2 & 3 & -2 \\\\ 8 & 9 & 4\end{pmatrix}.
  • A diagonal do meio contém os autovalores -3,\;a,\;b (nessa ordem) e sabemos que a<b.
  • A 3 ^\mathrm{a} coluna de P corresponde ao autovetor associado ao autovalor b.]

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar (com calma): quando uma matriz A é escrita como
A = P \, D \, P^{-1},
onde D é diagonal, isso significa que A é diagonalizável e que as colunas de P são autovetores de A. Mais precisamente:
  • Se D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) então a coluna i de P é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda_i.
    No nosso caso, D=\operatorname{diag}(-3,a,b), então:
  • 1ª coluna de P é autovetor de A para \lambda=-3.
  • 2ª coluna de P é autovetor para \lambda=a.
  • 3ª coluna de P é autovetor para \lambda=b.
    Portanto, para responder à pergunta precisamos:
  1. encontrar os autovalores de A;
  2. identificar qual é b (o maior entre a e b);
  3. obter um autovetor correspondente a b e comparar com as opções.

Passo 3

Vamos calcular o polinômio característico de
A=\begin{pmatrix}-5 & -6 & 2 \\[4pt] 2 & 3 & -2 \\[4pt] 8 & 9 & 4\end{pmatrix},
isto é \det(A-\lambda I). Primeiro escrevemos A-\lambda I:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} -5-\lambda & -6 & 2 \\[4pt] 2 & 3-\lambda & -2 \\[4pt] 8 & 9 & 4-\lambda \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante por expansão (mostro os passos de cálculo):
\det(A-\lambda I)=(-5-\lambda)\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -2\\[4pt]9 & 4-\lambda\end{pmatrix} -(-6)\det\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]8 & 4-\lambda\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}2 & 3-\lambda\\[4pt]8 & 9\end{pmatrix}.
Calculemos cada menor:
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -2\\[4pt]9 & 4-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(4-\lambda)+18 =\lambda^{2}-7\lambda+30.
\det\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]8 & 4-\lambda\end{pmatrix}=2(4-\lambda)+16=24-2\lambda.
\det\begin{pmatrix}2 & 3-\lambda\\[4pt]8 & 9\end{pmatrix}=18-8(3-\lambda)=-6+8\lambda.
Agora substituímos:
\det(A-\lambda I)=(-5-\lambda)(\lambda^{2}-7\lambda+30)+6(24-2\lambda)+2(-6+8\lambda).
Desenvolvendo:
(-5-\lambda)(\lambda^{2}-7\lambda+30)=-(\lambda^{3}-2\lambda^{2}-5\lambda+150),
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\det(A-\lambda I)= -\lambda^{3}+2\lambda^{2}+5\lambda-150 +144-12\lambda -12+16\lambda.
Somando os termos semelhantes:
\det(A-\lambda I)=-\lambda^{3}+2\lambda^{2}+9\lambda-18.
Multiplicando por -1 para ficar mais cómodo:
\lambda^{3}-2\lambda^{2}-9\lambda+18=0
é o polinômio característico.]

Passo 4

Fatoramos o polinômio \lambda^{3}-2\lambda^{2}-9\lambda+18. Testando raízes inteiras possíveis ( \pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\dots), vemos que \lambda=2 é raiz porque
2^{3}-2\cdot2^{2}-9\cdot2+18=8-8-18+18=0.
Fazendo a divisão por (\lambda-2) obtemos o quociente \lambda^{2}-9, portanto
\lambda^{3}-2\lambda^{2}-9\lambda+18=(\lambda-2)(\lambda^{2}-9)=(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+3).
Assim os autovalores de A são
\lambda=-3,\quad \lambda=2,\quad \lambda=3.
No enunciado a diagonal é -3,\;a,\;b com a<b. Comparando, os dois números distintos diferentes de -3 são 2 e 3, e como 2<3 segue que
a=2,\qquad b=3.

Passo 5

Comentário objetivo: a 3 ^\mathrm{a} coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor b. Acabamos de determinar b=3. Portanto precisamos achar um autovetor de A para \lambda=3.

Passo 6

Resolva (A-3I)v=0\). Calculamos \(A-3I\): \[A-3I=\begin{pmatrix}-8 & -6 & 2 \\[4pt] 2 & 0 & -2 \\[4pt] 8 & 9 & 1\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^{T} é autovetor para \lambda=3, satisfaz
\begin{cases} -8x-6y+2z=0,\\[4pt] 2x+0\cdot y-2z=0,\\[4pt] 8x+9y+z=0. \end{cases}
Trabalhemos as equações de forma simples: da segunda equação temos
2x-2z=0 \quad\Rightarrow\quad x=z.
Substituindo x=z\] na primeira: \[-8z-6y+2z=0 \quad\Rightarrow\quad -6z-6y=0 \quad\Rightarrow\quad y=-z.\] A terceira equação fica automaticamente satisfeita (verificação: \(8z+9(-z)+z=0). Portanto os vetores próprios correspondentes a \lambda=3 têm a forma
v=z\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad z\neq0.
Um autovetor conveniente é \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora compare o autovetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix} com as opções, lembrando que as opções usam a forma com primeira componente -1. Multiplicando o autovetor por -1 obtemos
-1\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Isso tem primeira componente -1 e terceira componente -1, ou seja, é múltiplo de um vetor da forma \begin{pmatrix}-1\\[4pt]\star\\[4pt]-1\end{pmatrix}. A opção que corresponde a essa forma é a (B).]

Resposta

(B)

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