com P inversível e a<b. Pede‑se: a 3^\mathrm{a} coluna de P é múltipla de qual dos vetores abaixo?
(A) \begin{pmatrix}-1 \\\ \star \\\\ -2\end{pmatrix}
(B) \begin{pmatrix}-1 \\\ \star \\\\ -1\end{pmatrix}
(C) \begin{pmatrix}-1 \\\ \star \\\\ 0\end{pmatrix}
(D) \begin{pmatrix}-1 \\\ \star \\\\ 1\end{pmatrix}
Informações relevantes do enunciado:
Existe P inversível que diagonaliza a matriz A=\begin{pmatrix}-5 & -6 & 2 \\\\ 2 & 3 & -2 \\\\ 8 & 9 & 4\end{pmatrix}.
A diagonal do meio contém os autovalores -3,\;a,\;b (nessa ordem) e sabemos que a<b.
A 3^\mathrm{a} coluna de P corresponde ao autovetor associado ao autovalor b.]
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar (com calma): quando uma matriz A é escrita como
A = P \, D \, P^{-1},
onde D é diagonal, isso significa que A é diagonalizável e que as colunas de P são autovetores de A. Mais precisamente:
Se D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) então a coluna i de P é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda_i.
No nosso caso, D=\operatorname{diag}(-3,a,b), então:
1ª coluna de P é autovetor de A para \lambda=-3.
2ª coluna de P é autovetor para \lambda=a.
3ª coluna de P é autovetor para \lambda=b.
Portanto, para responder à pergunta precisamos:
encontrar os autovalores de A;
identificar qual é b (o maior entre a e b);
obter um autovetor correspondente a b e comparar com as opções.
Fatoramos o polinômio \lambda^{3}-2\lambda^{2}-9\lambda+18. Testando raízes inteiras possíveis (\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\dots), vemos que \lambda=2 é raiz porque
2^{3}-2\cdot2^{2}-9\cdot2+18=8-8-18+18=0.
Fazendo a divisão por (\lambda-2) obtemos o quociente \lambda^{2}-9, portanto
No enunciado a diagonal é -3,\;a,\;b com a<b. Comparando, os dois números distintos diferentes de -3 são 2 e 3, e como 2<3 segue que
a=2,\qquad b=3.
Passo 5
Comentário objetivo: a 3^\mathrm{a} coluna de P é um autovetor de A associado ao autovalor b. Acabamos de determinar b=3. Portanto precisamos achar um autovetor de A para \lambda=3.
Trabalhemos as equações de forma simples: da segunda equação temos
2x-2z=0 \quad\Rightarrow\quad x=z.
Substituindo x=z\] na primeira:
\[-8z-6y+2z=0 \quad\Rightarrow\quad -6z-6y=0 \quad\Rightarrow\quad y=-z.\]
A terceira equação fica automaticamente satisfeita (verificação: \(8z+9(-z)+z=0). Portanto os vetores próprios correspondentes a \lambda=3 têm a forma
Um autovetor conveniente é \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 7
Agora compare o autovetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix} com as opções, lembrando que as opções usam a forma com primeira componente -1. Multiplicando o autovetor por -1 obtemos
Isso tem primeira componente -1 e terceira componente -1, ou seja, é múltiplo de um vetor da forma \begin{pmatrix}-1\\[4pt]\star\\[4pt]-1\end{pmatrix}. A opção que corresponde a essa forma é a (B).]