Q7.4 Um ovo é solto do telhado de um edifício, partindo do repouso, e cai ao solo. A queda é observada por um estudante situado no telhado do edifício, que usa coordenadas com origem no telhado, e por outro estudante no solo, que usa coordenadas com a origem no solo. Verifique se os dois estudantes atribuem valores iguais ou diferentes para cada uma das seguintes grandezas: energia potencial gravitacional inicial, energia potencial gravitacional final, variação da energia potencial gravitacional e energia cinética do ovo imediatamente antes de atingir o solo. Explique.
Passo 1
O enunciado: um ovo é largado do telhado de um edifício, parte do repouso e cai até o solo. Há dois observadores: um no telhado (usa origem das alturas no telhado) e outro no solo (usa origem no solo). O que precisamos verificar (para cada caso): se os dois observadores atribuem valores iguais ou diferentes para
- a energia potencial gravitacional inicial;
- a energia potencial gravitacional final;
- a variação da energia potencial gravitacional;
- a energia cinética do ovo imediatamente antes de atingir o solo.
Informações dadas e hipótese conveniente para trabalhar:
- massa do ovo:
(fica simbólica); - aceleração da gravidade:
(constante, mesma para os dois observadores); - altura do telhado em relação ao solo:
(peguei esse dado como referência numérica simbólica — o enunciado não dá valor numérico, então uso ); - o ovo é solto do repouso (velocidade inicial
para ambos os observadores, pois ambos estão em repouso relativo ao edifício/solo).
Passo 2
Definição e fórmula úteis (aula rápida e direta): a energia potencial gravitacional, perto da superfície terrestre, é dada por
onde:
-
é a massa do corpo (aqui o ovo); -
é a aceleração da gravidade (aprox. , mas tratamos só simbolicamente); -
é a coordenada vertical do corpo medida a partir da origem escolhida (ou seja, depende do ponto que cada observador escolhe como referência ).
Importante didático:
não tem um valor absoluto fixo — depende da escolha da origem
. O que tem valor físico invariante são as diferenças
entre dois estados. Vou aplicar isso aos dois observadores, chamando as alturas e energias conforme a origem usada por cada um.
Passo 3
Escolha das coordenadas (para ficar claro):
- Observador no solo: usa
com no solo. Então, no instante inicial (ovo no telhado) temos . No instante final (ovo no solo) . - Observador no telhado: usa
com no telhado. Então e (o solo fica abaixo do telhado).
Cálculo da energia potencial inicial para cada observador:
- Para o observador no telhado:
- Para o observador no solo:
Conclusão: os valores são diferentes (porque cada um escolheu um zero diferente para
).
Passo 4
Cálculo da energia potencial final (quando o ovo chega ao solo):
- Para o observador no telhado:
- Para o observador no solo:
Conclusão: novamente os valores são diferentes (mesma razão: escolha distinta do ponto onde
).
Passo 5
Cálculo da variação da energia potencial (diferença entre final e inicial). Isso é físico e não depende da escolha da origem — vamos ver:
- Para o observador no telhado:
- Para o observador no solo:
As duas variações coincidem:
. Explicação didática: se adicionarmos uma constante
à expressão de
ao mudar a origem, tanto
quanto
mudam por
e essa constante se cancela na diferença. Por isso a mudança de energia potencial é invariável.
Passo 6
Energia cinética imediatamente antes do impacto. Primeiro raciocínio por conservação de energia (fácil e robusto):
- O ovo parte do repouso, logo energia cinética inicial
para ambos. - A conservação da energia mecânica (se desprezarmos resistência do ar) diz
Isolando
:
Mas já vimos que
(mesmo valor para os dois observadores), portanto
Ou, usando cinemática: a velocidade antes do impacto é
(fórmula clássica para queda livre a partir de altura
), e assim
Observação sobre referência: a energia cinética depende da velocidade meda em relação ao referencial. Aqui ambos os observadores estão em repouso relativo um ao outro (ambos fixos à Terra), portanto medem a mesma velocidade do ovo e, consequentemente, a mesma energia cinética. (Se um observador estivesse se movendo relativo ao outro, aí a energia cinética seria diferente entre referenciais.)
Passo 7
Resumo físico e interpretação (motivação para a prova): potencial gravitacional tem um “zero” arbitrário — valores absolutos mudam com a escolha da origem, mas diferenças
são físicas e invariantes. A energia cinética, sendo função da velocidade, é igual para observadores em repouso relativo ao mesmo referencial (como aqui).
Resposta
Energia potencial gravitacional inicial: diferentes (
)
Energia potencial gravitacional final: diferentes ( )
Variação da energia potencial gravitacional: iguais ( )
Energia cinética imediatamente antes do impacto: iguais ( )
Energia potencial gravitacional final: diferentes (
Variação da energia potencial gravitacional: iguais (
Energia cinética imediatamente antes do impacto: iguais (