Q7.4 Um ovo é solto do telhado de um edifício, partindo do repouso, e cai ao solo. A queda é observada por um estudante situado no telhado do edifício, que usa coordenadas com origem no telhado, e por outro estudante no solo, que usa coordenadas com a origem no solo. Verifique se os dois estudantes atribuem valores iguais ou diferentes para cada uma das seguintes grandezas: energia potencial gravitacional inicial, energia potencial gravitacional final, variação da energia potencial gravitacional e energia cinética do ovo imediatamente antes de atingir o solo. Explique.

Passo 1

O enunciado: um ovo é largado do telhado de um edifício, parte do repouso e cai até o solo. Há dois observadores: um no telhado (usa origem das alturas no telhado) e outro no solo (usa origem no solo). O que precisamos verificar (para cada caso): se os dois observadores atribuem valores iguais ou diferentes para
  1. a energia potencial gravitacional inicial;
  2. a energia potencial gravitacional final;
  3. a variação da energia potencial gravitacional;
  4. a energia cinética do ovo imediatamente antes de atingir o solo.
Informações dadas e hipótese conveniente para trabalhar:
  • massa do ovo: m (fica simbólica);
  • aceleração da gravidade: g (constante, mesma para os dois observadores);
  • altura do telhado em relação ao solo: H (peguei esse dado como referência numérica simbólica — o enunciado não dá valor numérico, então uso H);
  • o ovo é solto do repouso (velocidade inicial 0 para ambos os observadores, pois ambos estão em repouso relativo ao edifício/solo).

Passo 2

Definição e fórmula úteis (aula rápida e direta): a energia potencial gravitacional, perto da superfície terrestre, é dada por
U = m g y,
onde:
  • m é a massa do corpo (aqui o ovo);
  • g é a aceleração da gravidade (aprox. 9{,}8\\ \text{m/s}^2, mas tratamos só simbolicamente);
  • y é a coordenada vertical do corpo medida a partir da origem escolhida (ou seja, depende do ponto que cada observador escolhe como referência y=0).
Importante didático: U não tem um valor absoluto fixo — depende da escolha da origem y=0. O que tem valor físico invariante são as diferenças \Delta U entre dois estados. Vou aplicar isso aos dois observadores, chamando as alturas e energias conforme a origem usada por cada um.

Passo 3

Escolha das coordenadas (para ficar claro):
  • Observador no solo: usa y_{\text{solo}} com y_{\text{solo}}=0 no solo. Então, no instante inicial (ovo no telhado) temos y_{\text{solo},i}=H. No instante final (ovo no solo) y_{\text{solo},f}=0.
  • Observador no telhado: usa y_{\text{telhado}} com y_{\text{telhado}}=0 no telhado. Então y_{\text{telhado},i}=0 e y_{\text{telhado},f}=-H (o solo fica H abaixo do telhado).
Cálculo da energia potencial inicial para cada observador:
  • Para o observador no telhado:
U_{i}^{(\text{telhado})}=m g\, y_{\text{telhado},i}=m g\cdot 0=0.
  • Para o observador no solo:
U_{i}^{(\text{solo})}=m g\, y_{\text{solo},i}=m g\cdot H=m g H.
Conclusão: os valores são diferentes (porque cada um escolheu um zero diferente para y).

Passo 4

Cálculo da energia potencial final (quando o ovo chega ao solo):
  • Para o observador no telhado:
U_{f}^{(\text{telhado})}=m g\, y_{\text{telhado},f}=m g\cdot(-H)=-m g H.
  • Para o observador no solo:
U_{f}^{(\text{solo})}=m g\, y_{\text{solo},f}=m g\cdot 0=0.
Conclusão: novamente os valores são diferentes (mesma razão: escolha distinta do ponto onde U=0).

Passo 5

Cálculo da variação da energia potencial (diferença entre final e inicial). Isso é físico e não depende da escolha da origem — vamos ver:
  • Para o observador no telhado:
\Delta U^{(\text{telhado})}=U_{f}^{(\text{telhado})}-U_{i}^{(\text{telhado})} = (-m g H)-0 = -m g H.
  • Para o observador no solo:
\Delta U^{(\text{solo})}=U_{f}^{(\text{solo})}-U_{i}^{(\text{solo})} = 0 - (m g H) = -m g H.
As duas variações coincidem: \Delta U = -m g H. Explicação didática: se adicionarmos uma constante C à expressão de U ao mudar a origem, tanto U_i quanto U_f mudam por m g C e essa constante se cancela na diferença. Por isso a mudança de energia potencial é invariável.

Passo 6

Energia cinética imediatamente antes do impacto. Primeiro raciocínio por conservação de energia (fácil e robusto):
  • O ovo parte do repouso, logo energia cinética inicial K_i=0 para ambos.
  • A conservação da energia mecânica (se desprezarmos resistência do ar) diz
K_i + U_i = K_f + U_f.
Isolando K_f:
K_f = K_i + U_i - U_f = 0 + (U_i - U_f).
Mas já vimos que U_i - U_f = m g H (mesmo valor para os dois observadores), portanto
K_f = m g H.
Ou, usando cinemática: a velocidade antes do impacto é \,v=\sqrt{2 g H}\, (fórmula clássica para queda livre a partir de altura H), e assim
K_f=\tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2} m (2 g H)=m g H.
Observação sobre referência: a energia cinética depende da velocidade meda em relação ao referencial. Aqui ambos os observadores estão em repouso relativo um ao outro (ambos fixos à Terra), portanto medem a mesma velocidade do ovo e, consequentemente, a mesma energia cinética. (Se um observador estivesse se movendo relativo ao outro, aí a energia cinética seria diferente entre referenciais.)

Passo 7

Resumo físico e interpretação (motivação para a prova): potencial gravitacional tem um “zero” arbitrário — valores absolutos mudam com a escolha da origem, mas diferenças \Delta U são físicas e invariantes. A energia cinética, sendo função da velocidade, é igual para observadores em repouso relativo ao mesmo referencial (como aqui).

Resposta

Energia potencial gravitacional inicial: diferentes ( U_{i}^{(\text{telhado})}=0,\;U_{i}^{(\text{solo})}=m g H)
Energia potencial gravitacional final: diferentes ( U_{f}^{(\text{telhado})}=-m g H,\;U_{f}^{(\text{solo})}=0)
Variação da energia potencial gravitacional: iguais ( \Delta U=-m g H)
Energia cinética imediatamente antes do impacto: iguais ( K=m g H)

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