Q7: Seja A uma matrix m \times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se para algum \vec{b} \in \mathbb{R}^{m} o sistema A \vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.
II - Se A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}, então m=n.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado diz: seja A uma matriz m\times n. Temos duas afirmativas:
I - Se para algum \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.
II - Se A\vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}, então m=n.
O que o problema pede é decidir quais das afirmativas são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) ou (D).
Informações relevantes dadas:
\;-\; A é m\times n (mapa linear de \mathbb{R}^n para \mathbb{R}^m).
\;-\; Afirmativa I relaciona existência de infinitas soluções para algum \vec{b} com o núcleo de A.
\;-\; Afirmativa II relaciona existência de solução única para todo \vec{b} com a igualdade entre m e n.

Passo 2

Para começar, vamos lembrar uma definição importante e uma propriedade que usamos direto em sistemas lineares:
Definição do núcleo: Núcleo A (também chamado de nullspace) é o conjunto
\text{Núcleo }A=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.ú
Ou seja, é o conjunto das soluções do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0}.
Propriedade básica sobre soluções de A\vec{x}=\vec{b}:
  • Se \vec{x}_p é uma solução particular de A\vec{x}=\vec{b}, então todas as soluções são da forma
\vec{x}=\vec{x}_p+\vec{v},
onde \vec{v} é qualquer vetor do Núcleo A (porque A(\vec{x}_p+\vec{v})=A\vec{x}_p+A\vec{v}=\vec{b}+\overrightarrow{0}=\vec{b}). Essa é uma ideia padrão: soluções = uma particular + soluções do homogêneo.
Vou usar essa propriedade já a seguir.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “Se para algum \vec{b} o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.”
Usando a propriedade do passo anterior: se existe pelo menos uma solução \vec{x}_p e existem infinitas soluções, então existem pelo menos duas soluções distintas \vec{x}_1 e \vec{x}_2. Considere a diferença:
A(\vec{x}_1-\vec{x}_2)=A\vec{x}_1-A\vec{x}_2=\vec{b}-\vec{b}=\overrightarrow{0}.
Logo \vec{x}_1-\vec{x}_2\in Núcleo A. Como \vec{x}_1\neq\vec{x}_2, essa diferença é um vetor não nulo. Portanto o Núcleo A contém um vetor não nulo, ou seja
\text{Núcleo }A\neq\{\overrightarrow{0}\}.ú
Isso mostra que a afirmativa I está invertida: o correto é “se existe algum \vec{b} com pelo menos duas (ou infinitas) soluções, então Núcleo (A\neq{\overrightarrow{0}}”. Portanto I é falsa.
Para fixar com um exemplo concreto (sempre ajuda a acreditar no raciocínio): pegue
A=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},
que é uma matriz 1\times 2. Para \vec{b}=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}, o sistema A\vec{x}=\vec{0} é a equação x_1=0 com x_2 livre, então há infinitas soluções (0,t). O Núcleo A contém (0,1), logo não é somente o vetor zero. Isso contradiz I, confirmando que I é falsa.)

Passo 4

Agora a afirmativa II: “Se A\vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}, então m=n.”
Interpretação: para qualquer vetor de termos independentes \vec{b} em \mathbb{R}^m, existe exatamente uma solução \vec{x}\in\mathbb{R}^n. Isso significa duas coisas simultaneamente sobre a aplicação linear associada a A:
  1. É sobrejetora (surjetiva): porque todo \vec{b}\in\mathbb{R}^m tem pelo menos uma solução. Em linguagem de matrizes isso quer dizer que as colunas de A geram todo \mathbb{R}^m, portanto \text{rank}(A)=m.
  2. É injetora: porque a solução é única para cada \vec{b}; em particular, o sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} tem apenas a solução trivial, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}. Pela fórmula do posto (teorema da dimensão, rank-nullity):
\text{rank}(A)+\text{nullity}(A)=n,
onde \text{nullity}(A)=\dim(\text{Núcleo }A)ú. Como a nullity é 0 (injeção), obtemos \text{rank}(A)=n.
Juntando as duas conclusões: \text{rank}(A)=m (por sobrejetividade) e \text{rank}(A)=n (por injetividade). Assim
m=\text{rank}(A)=n,
ou seja m=n. Logo a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Vou reescrever a ideia de II de maneira mais elementar (sem usar muita terminologia): se existe solução única para todo \vec{b}, então não pode haver “variáveis livres” — o número de incógnitas n não pode ser maior que o número de equações efetivas m (porque se n>m sempre haveria graus de liberdade e múltiplas soluções para alguns \vec{b}). Por outro lado, se n<m não há como alcançar todos os \vec{b} em \mathbb{R}^m (faltam direções na imagem), então alguns \vec{b} não teriam solução. Só restando n=m a situação possível de ter exatamente uma solução para todo \vec{b}. Isso confirma novamente que II é verdadeira.

Passo 6

Resumo final do raciocínio: I é falsa (se há infinitas soluções então o núcleo é não trivial), II é verdadeira (solução única para todo \vec{b} implica A bijetora e portanto m=n). Portanto a alternativa correta é a que diz que somente II é verdadeira.

Resposta

(C) Só II é verdadeira.

Exercícios relacionados