Q7: Seja
uma matrix
.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se para algum
o sistema
tem infinitas soluções, então Núcleo
.
II - Se
tem solução única para todo
, então
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se para algum
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado diz: seja
uma matriz
. Temos duas afirmativas:
I - Se para algum o sistema
tem infinitas soluções, então Núcleo
.
II - Se tem solução única para todo
, então
.
I - Se para algum
II - Se
O que o problema pede é decidir quais das afirmativas são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) ou (D).
Informações relevantes dadas:
é
(mapa linear de
para
).
Afirmativa I relaciona existência de infinitas soluções para algum
com o núcleo de
.
Afirmativa II relaciona existência de solução única para todo
com a igualdade entre
e
.
Passo 2
Para começar, vamos lembrar uma definição importante e uma propriedade que usamos direto em sistemas lineares:
Definição do núcleo: Núcleo
(também chamado de nullspace) é o conjunto
Ou seja, é o conjunto das soluções do sistema homogêneo
.
Propriedade básica sobre soluções de
:
- Se
é uma solução particular de , então todas as soluções são da forma
onde
é qualquer vetor do Núcleo
(porque
). Essa é uma ideia padrão: soluções = uma particular + soluções do homogêneo.
Vou usar essa propriedade já a seguir.
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “Se para algum
o sistema
tem infinitas soluções, então Núcleo
.”
Usando a propriedade do passo anterior: se existe pelo menos uma solução
e existem infinitas soluções, então existem pelo menos duas soluções distintas
e
. Considere a diferença:
Logo
Núcleo
. Como
, essa diferença é um vetor não nulo. Portanto o Núcleo
contém um vetor não nulo, ou seja
Isso mostra que a afirmativa I está invertida: o correto é “se existe algum
com pelo menos duas (ou infinitas) soluções, então Núcleo (A\neq{\overrightarrow{0}}”. Portanto I é falsa.
Para fixar com um exemplo concreto (sempre ajuda a acreditar no raciocínio): pegue
que é uma matriz
. Para
, o sistema
é a equação
com
livre, então há infinitas soluções
. O Núcleo
contém
, logo não é somente o vetor zero. Isso contradiz I, confirmando que I é falsa.)
Passo 4
Agora a afirmativa II: “Se
tem solução única para todo
, então
.”
Interpretação: para qualquer vetor de termos independentes
em
, existe exatamente uma solução
. Isso significa duas coisas simultaneamente sobre a aplicação linear associada a
:
- É sobrejetora (surjetiva): porque todo
tem pelo menos uma solução. Em linguagem de matrizes isso quer dizer que as colunas de geram todo , portanto . - É injetora: porque a solução é única para cada
; em particular, o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial, então Núcleo . Pela fórmula do posto (teorema da dimensão, rank-nullity):
onde
. Como a nullity é
(injeção), obtemos
.
Juntando as duas conclusões:
(por sobrejetividade) e
(por injetividade). Assim
ou seja
. Logo a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Vou reescrever a ideia de II de maneira mais elementar (sem usar muita terminologia): se existe solução única para todo
, então não pode haver “variáveis livres” — o número de incógnitas
não pode ser maior que o número de equações efetivas
(porque se
sempre haveria graus de liberdade e múltiplas soluções para alguns
). Por outro lado, se
não há como alcançar todos os
em
(faltam direções na imagem), então alguns
não teriam solução. Só restando
a situação possível de ter exatamente uma solução para todo
. Isso confirma novamente que II é verdadeira.
Passo 6
Resumo final do raciocínio: I é falsa (se há infinitas soluções então o núcleo é não trivial), II é verdadeira (solução única para todo
implica
bijetora e portanto
). Portanto a alternativa correta é a que diz que somente II é verdadeira.
Resposta
(C) Só II é verdadeira.