Q1: Sejam \beta=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} uma base de \mathbb{R}^{2}, \vec{u}=(5,7) e \vec{v}= ( -3,-4 ). Se as coordenadas na base \beta destes vetores são [\vec{u}]_{\beta}=(-3,-2) e [\vec{v}]_{\beta}=(1,1), então \vec{b}_{2} é:
(A) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -5\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -4\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -2\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{r}* \\\\ -1\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{c}* \\\\ 1\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{l}* \\\\ 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \vec{b}_{2} sabendo que \beta=\{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\} é uma base de \mathbb{R}^{2} e que:
\vec{u}=(5,7),\qquad \vec{v}=(-3,-4).
As coordenadas desses vetores na base \beta são
[\vec{u}]_{\beta}=(-3,-2),\qquad [\vec{v}]_{\beta}=(1,1).
As opções dadas mostram vetores com a primeira coordenada omitida (representada por *) e várias possibilidades para a segunda coordenada; precisamos identificar qual opção corresponde à \vec{b}_{2}.

Passo 2

Entendendo o significado das coordenadas: se [\vec{u}]_{\beta}=(-3,-2), isso significa que \vec{u} é a combinação linear
\vec{u} = -3\vec{b}_{1} - 2\vec{b}_{2}.
De forma análoga, [\vec{v}]_{\beta}=(1,1) significa
\vec{v} = 1\vec{b}_{1} + 1\vec{b}_{2} = \vec{b}_{1} + \vec{b}_{2}.
Essas são duas equações vetoriais em \mathbb{R}^2 que envolvem \vec{b}_{1} e \vec{b}_{2}. Nosso objetivo é isolar \vec{b}_{2}.

Passo 3

Isolamos \vec{b}_{1} a partir da equação de \vec{v}:
\vec{b}_{1} = \vec{v} - \vec{b}_{2}.
Substituímos essa expressão na equação de \vec{u}:
\vec{u} = -3(\vec{v} - \vec{b}_{2}) - 2\vec{b}_{2}.
Agora desenvolvemos o lado direito passo a passo:
\vec{u} = -3\vec{v} + 3\vec{b}_{2} - 2\vec{b}_{2} = -3\vec{v} + \vec{b}_{2}.
Isolando \vec{b}_{2} obtemos a fórmula prática
\vec{b}_{2} = \vec{u} + 3\vec{v}.
Isso é uma forma bem direta de achar \vec{b}_{2}: soma \vec{u} com três vezes \vec{v}.

Passo 4

Agora calculamos \vec{b}_{2} componente a componente. Primeiro calculemos 3\vec{v}:
3\vec{v} = 3\cdot(-3,-4) = (-9,-12).
Então
\vec{b}_{2} = \vec{u} + 3\vec{v} = (5,7) + (-9,-12).
Somando componente a componente:
\vec{b}_{2} = (5-9,\;7-12) = (-4,-5).

Passo 5

Verificação rápida (para ter segurança): a partir de \vec{b}_{2}=(-4,-5) e \vec{v}=\vec{b}_{1}+\vec{b}_{2} obtemos
\vec{b}_{1} = \vec{v}-\vec{b}_{2} = (-3,-4)-(-4,-5) = (1,1).
Agora verificamos \vec{u} = -3\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2}:
-3\vec{b}_{1}-2\vec{b}_{2} = -3(1,1) -2(-4,-5) = (-3,-3) + (8,10) = (5,7),
que é justamente \vec{u}. Tudo confere.

Resposta

(A) \left[\begin{array}{r}-4 \\\\ -5\end{array}\right]

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