Q7: Seja
uma matrix
.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem
, então
tem solução única para todo
.
II - Se para algum
o sistema
tem infinitas soluções, então Núcleo
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem
II - Se para algum
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de tamanho
e pede para analisar duas afirmações sobre soluções do sistema
. As afirmações são:
I - Se Imagem
, então
tem solução única para todo
.
II - Se para algum
o sistema
tem infinitas soluções, então Núcleo
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
é uma matriz . - A expressão "Imagem
" significa que as colunas de geram todo . - "Núcleo
" significa o conjunto de vetores tais que . - Precisamos decidir a veracidade de I e II e escolher a alternativa correta entre (A)–(D).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “existência” de solução em termos de imagem (coluna-espaço). Definição e ideia chave:
- A Imagem (ou espaço coluna) de
, escrita Imagem ou , é
- Para um dado
, o sistema tem solução se, e somente se, .
Explicando de forma simples: a imagem contém exatamente os vetores que podem ser obtidos como combinação linear das colunas de
. Se a imagem é todo
, então todo
está na imagem, então para todo
existe pelo menos uma solução.
Passo 3
Agora o que garante unicidade de solução: relação com o núcleo.
- O Núcleo (ou kernel) de
é
- Se
, dizemos que é injetora como transformação linear de em . Isso garante que qualquer solução de é única: se e são soluções, então implica , logo quando o kernel é .
Resumo prático: existência ↔
. Unicidade ↔
.
Passo 4
Relacionando posto (rank) e dimensões — uma ferramenta útil:
- O posto (rank) de
, escrito , é a dimensão da imagem de . - O Teorema do Núcleo-Imagem (rank-nullity) diz:
Isto significa que, se
(imagem é todo
), ainda pode acontecer que
se
. Ou seja, ser sobrejetora (imagem =
) não força ser injetora a menos que
.
Passo 5
Análise da afirmação I com explicação detalhada:
A afirmação I diz: “Se Imagem
, então
tem solução única para todo
.”
- Pelo que vimos, Imagem
garante existência de solução para todo . - Porém, unicidade exige
. A imagem sendo dá . Pela fórmula do rank-nullity temos . Se , então , logo o kernel não é trivial e as soluções não são únicas — para cada existem infinitas soluções (parâmetro(s) livres). - Conclusão lógica: I é falsa em geral, porque falta a hipótese
(ou explicitamente ) para garantir unicidade.
Passo 6
Contraexemplo concreto que deixa tudo claro (faça isso na prova: exibir contraexemplo):
Considere
e
e a matriz
- As colunas de
geram , logo . - Para um vetor qualquer
temos soluções da forma com arbitrário. Portanto existem infinitas soluções para cada . Logo existe solução, mas não é única. - Isso mostra explicitamente que a afirmação I é falsa.]
Passo 7
Análise da afirmação II com explicação detalhada:
A afirmação II diz: “Se para algum
o sistema
tem infinitas soluções, então Núcleo
.”
- Tome algum
tal que existam duas soluções distintas e . Então
- Subtraindo essas igualdades obtemos
ou seja,
. Como
, temos
. Portanto existe um vetor não nulo no kernel, isto é,
.
- Logo, a hipótese “existe algum
com infinitas soluções” implica que o núcleo é não-trivial, exatamente o contrário do que a afirmação II diz. - Conclusão: II também é falsa.
Passo 8
Observação intuitiva e dica para prova/exame:
- Se alguma vez te falarem que “para todo
existe solução única”, mentalize que isso equivale a ser bijetora, o que só acontece quando e (matriz invertível). - Se virem "infinitas soluções para algum
", isso sempre sinaliza que existem variáveis livres e, portanto, tem dimensão positiva; ou seja, kernel não trivial.
Resposta
(A) Todas são falsas.