Q7: Seja A uma matrix m \times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Imagem A=\mathbb{R}^{m}, então A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}.
II - Se para algum \vec{b} \in \mathbb{R}^{m} o sistema A \vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de tamanho m\times n e pede para analisar duas afirmações sobre soluções do sistema A\vec{x}=\vec{b}. As afirmações são:
I - Se Imagem A=\mathbb{R}^{m}, então A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}.
II - Se para algum \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A é uma matriz m\times n.
  • A expressão "Imagem A=\mathbb{R}^{m}" significa que as colunas de A geram todo \mathbb{R}^{m}.
  • "Núcleo A" significa o conjunto de vetores \vec{x}\in\mathbb{R}^{n} tais que A\vec{x}=\vec{0}.
  • Precisamos decidir a veracidade de I e II e escolher a alternativa correta entre (A)–(D).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “existência” de solução em termos de imagem (coluna-espaço). Definição e ideia chave:
  • A Imagem (ou espaço coluna) de A, escrita Imagem A ou \operatorname{Im}(A), é
\operatorname{Im}(A)=\{A\vec{x}\mid \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\}\subseteq\mathbb{R}^{m}.
  • Para um dado \vec{b}\in\mathbb{R}^m, o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem solução se, e somente se, \vec{b}\in\operatorname{Im}(A).
Explicando de forma simples: a imagem contém exatamente os vetores que podem ser obtidos como combinação linear das colunas de A. Se a imagem é todo \mathbb{R}^m, então todo \vec{b}\in\mathbb{R}^m está na imagem, então para todo \vec{b} existe pelo menos uma solução.

Passo 3

Agora o que garante unicidade de solução: relação com o núcleo.
  • O Núcleo (ou kernel) de A é
\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{0}\}.
  • Se \ker(A)=\{\vec{0}\}, dizemos que A é injetora como transformação linear de \mathbb{R}^n em \mathbb{R}^m. Isso garante que qualquer solução de A\vec{x}=\vec{b} é única: se \vec{x}_1 e \vec{x}_2 são soluções, então A(\vec{x}_1-\vec{x}_2)=\vec{0} implica \vec{x}_1-\vec{x}_2\in\ker(A), logo \vec{x}_1=\vec{x}_2 quando o kernel é \{\vec{0}\}.
Resumo prático: existência ↔ \vec{b}\in\operatorname{Im}(A). Unicidade ↔ \ker(A)=\{\vec{0}\}.

Passo 4

Relacionando posto (rank) e dimensões — uma ferramenta útil:
  • O posto (rank) de A, escrito \operatorname{rank}(A), é a dimensão da imagem de A.
  • O Teorema do Núcleo-Imagem (rank-nullity) diz:
\operatorname{rank}(A)+\dim(\ker(A))=n.
Isto significa que, se \operatorname{rank}(A)=m (imagem é todo \mathbb{R}^m), ainda pode acontecer que \dim(\ker(A))>0 se n>m. Ou seja, ser sobrejetora (imagem = \mathbb{R}^m) não força ser injetora a menos que m=n.

Passo 5

Análise da afirmação I com explicação detalhada:
A afirmação I diz: “Se Imagem A=\mathbb{R}^{m}, então A\vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}.”
  • Pelo que vimos, Imagem A=\mathbb{R}^{m} garante existência de solução para todo \vec{b}.
  • Porém, unicidade exige \ker(A)=\{\vec{0}\}. A imagem sendo \mathbb{R}^m \operatorname{rank}(A)=m. Pela fórmula do rank-nullity temos \dim(\ker(A))=n-m. Se n>m, então \dim(\ker(A))=n-m>0, logo o kernel não é trivial e as soluções não são únicas — para cada \vec{b} existem infinitas soluções (parâmetro(s) livres).
  • Conclusão lógica: I é falsa em geral, porque falta a hipótese n=m (ou explicitamente \ker(A)=\{\vec{0}\}) para garantir unicidade.

Passo 6

Contraexemplo concreto que deixa tudo claro (faça isso na prova: exibir contraexemplo):
Considere m=2 e n=3 e a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
  • As colunas de A geram \mathbb{R}^2, logo \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^2.
  • Para um vetor qualquer \vec{b}=(b_1,b_2)^T temos soluções da forma \vec{x}=(b_1,b_2,t)^T com t\in\mathbb{R} arbitrário. Portanto existem infinitas soluções para cada \vec{b}. Logo existe solução, mas não é única.
  • Isso mostra explicitamente que a afirmação I é falsa.]

Passo 7

Análise da afirmação II com explicação detalhada:
A afirmação II diz: “Se para algum \vec{b}\in\mathbb{R}^m o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.”
  • Tome algum \vec{b} tal que existam duas soluções distintas \vec{x}_1 e \vec{x}_2. Então
A\vec{x}_1=\vec{b}\quad\text{e}\quad A\vec{x}_2=\vec{b}.
  • Subtraindo essas igualdades obtemos
A(\vec{x}_1-\vec{x}_2)=\vec{0},
ou seja, \vec{x}_1-\vec{x}_2\in\ker(A). Como \vec{x}_1\neq\vec{x}_2, temos \vec{x}_1-\vec{x}_2\neq\vec{0}. Portanto existe um vetor não nulo no kernel, isto é, \ker(A)\neq\{\vec{0}\}.
  • Logo, a hipótese “existe algum \vec{b} com infinitas soluções” implica que o núcleo é não-trivial, exatamente o contrário do que a afirmação II diz.
  • Conclusão: II também é falsa.

Passo 8

Observação intuitiva e dica para prova/exame:
  • Se alguma vez te falarem que “para todo \vec{b} existe solução única”, mentalize que isso equivale a A ser bijetora, o que só acontece quando m=n e \operatorname{rank}(A)=n (matriz invertível).
  • Se virem "infinitas soluções para algum \vec{b}", isso sempre sinaliza que existem variáveis livres e, portanto, \ker(A) tem dimensão positiva; ou seja, kernel não trivial.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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