Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 30 graus e uma projeção T sobre o eixo y. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{cc}0 & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\ \frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz que representa a transformação linear R T em \mathbb{R}^{2}, onde:
  • R é a rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por 30^\circ.
  • T é a projeção sobre o eixo y (ou seja, envia (x,y) para (0,y)).
    O objetivo é calcular a matriz de R T na base canônica e escolher qual das alternativas fornecidas corresponde a essa matriz.

Passo 2

Entender o que é a projeção sobre o eixo y. A projeção T envia um vetor (x,y) em (0,y). Em termos de coordenadas, isso significa:
T(x,y) = (0,y).
Uma forma prática de obter a matriz de uma transformação linear é ver a imagem dos vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1).

Passo 3

Calcule T aplicado à base canônica:
T(\mathbf{e}_1)=T(1,0)=(0,0),
T(\mathbf{e}_2)=T(0,1)=(0,1).
Como as colunas da matriz da transformação linear são as imagens das colunas da base canônica, a matriz de T na base canônica é
T=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right].
Expliquei: a primeira coluna é T(\mathbf{e}_1)=(0,0) e a segunda coluna é T(\mathbf{e}_2)=(0,1).]

Passo 4

Agora a rotação R de 30^\circ no sentido anti-horário. A fórmula geral da matriz de rotação por um ângulo \theta é
\left[\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right].
Aqui \theta=30^\circ. Precisamos dos valores de \cos 30^\circ e \sin 30^\circ.]

Passo 5

Os valores trigonométricos conhecidos:
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}.
Portanto a matriz de R é
R=\left[\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right].]

Passo 6

Entender a composição R T: aplica-se primeiro T e depois R. Em matrizes (na base canônica), a composição corresponde ao produto matricial R\,T. Ou seja, precisamos calcular
R\,T.

Passo 7

Vou explicar a regra de multiplicação de matrizes de modo prático: se A e B são matrizes 2\times2, então (AB)_{ij}= soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. Outra visão muito prática (e que eu gosto) é: as colunas de AB são A aplicadas às colunas de B; isto é, a primeira coluna de AB é A vezes a primeira coluna de B, etc. Vou usar ambas para ficar bem claro.

Passo 8

Escrevendo as matrizes que já temos:
R=\left[\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right],\qquad T=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{array}\right].
Agora calculamos R\,T usando a regra das colunas: a primeira coluna de T é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}, a segunda coluna é \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}. Então as colunas de R\,T são R aplicado a essas colunas.]

Passo 9

Aplicando R às colunas de T:
  • Primeira coluna de R\,T: R\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna de R\,T: (R \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}

\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0 + \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 1\[6pt]
\frac{1}{2}\cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\[6pt] \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
)
Portanto, juntando as colunas:
R\,T=\left[\begin{array}{cc} 0 & -\frac{1}{2}\\[4pt] 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right].]

Passo 10

Como checagem alternativa, faço a multiplicação por entradas explicitamente: escreva R=\big(r_{ij}\big) e T=\big(t_{ij}\big). Por exemplo, elemento (1,2) de R\,T é r_{11}t_{12}+r_{12}t_{22}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0 + \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 1 = -\frac{1}{2}. Fazendo isso para todos os elementos obtemos a mesma matriz calculada no passo anterior, confirmando o resultado.

Resposta

(B) \left[\begin{array}{cc}0 & -\frac{1}{2} \\[4pt] 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]]

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