O que nos é pedido: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, o número de vetores linearmente independentes que aparecem como saídas de T).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
onde A multiplica o vetor \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} para dar T(x).]
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo): a dimensão da imagem de T é igual ao posto (rank) da matriz A. O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes da matriz, e também é igual ao número de linhas não-nulas na forma escalonada por linhas (row-echelon). Para encontrar esse número aplicamos eliminação por linhas (operações elementares) até obter uma forma escalonada, contando então as linhas não-nulas (pivôs).
Regras usadas:
Podemos somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas ou multiplicar uma linha por escalar não nulo sem alterar o posto.
Um pivô é o primeiro elemento não nulo numa linha escalonada; cada linha não-nula indica um pivô distinto.
Estamos em forma escalonada por linhas: as linhas não-nulas são todas as três linhas mostradas. A terceira linha (0,0,3,-2) é não-nula (o pivô na coluna 3 é 3). Portanto há três pivôs distintos, um em cada linha.
Isso significa que o posto (rank) de A é 3. Como a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A, concluímos que a dimensão da imagem é 3.
Observação rápida: não pode ser maior que 3 porque a imagem está dentro de \mathbb{R}^3, e aqui achamos exatamente 3, então a imagem é um subespaço de dimensão completa em \mathbb{R}^3.