Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}-x_{3}-2 x_{4}\right., \left.-x_{1}-x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}, \quad-2 x_{1}-5 x_{2}+3 x_{3}+x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3
definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}+2x_{2}-x_{3}-2x_{4},\; -x_{1}-x_{2}+3x_{3}+3x_{4},\; -2x_{1}-5x_{2}+3x_{3}+x_{4}\bigr).
O que nos é pedido: determinar a dimensão da imagem de T (ou seja, o número de vetores linearmente independentes que aparecem como saídas de T).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{Matriz associada }A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2\\[4pt] -1 & -1 & 3 & 3\\[4pt] -2 & -5 & 3 & 1 \end{pmatrix},
onde A multiplica o vetor \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} para dar T(x).]

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo): a dimensão da imagem de T é igual ao posto (rank) da matriz A. O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes da matriz, e também é igual ao número de linhas não-nulas na forma escalonada por linhas (row-echelon). Para encontrar esse número aplicamos eliminação por linhas (operações elementares) até obter uma forma escalonada, contando então as linhas não-nulas (pivôs).
Regras usadas:
  • Podemos somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas ou multiplicar uma linha por escalar não nulo sem alterar o posto.
  • Um pivô é o primeiro elemento não nulo numa linha escalonada; cada linha não-nula indica um pivô distinto.

Passo 3

Escrevo a matriz A e começo a eliminação:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2\\[4pt] -1 & -1 & 3 & 3\\[4pt] -2 & -5 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Quero zerar as entradas abaixo do primeiro pivô (que está em a_{11}=1). Faço
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 + \text{R}_1,\qquad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + 2\text{R}_1.
Calculemos linha a linha:
  • Nova \text{R}_2 = (-1, -1, 3, 3) + (1,2,-1,-2) = (0,1,2,1).
  • Nova \text{R}_3 = (-2,-5,3,1) + 2(1,2,-1,-2) = (-2+2, -5+4, 3-2, 1-4) = (0,-1,1,-3).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora uso a segunda linha (com pivô em a_{22}=1) para zerar o elemento abaixo dela na coluna 2. Faço
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + \text{R}_2.
Calcule:
\text{R}_3 = (0,-1,1,-3) + (0,1,2,1) = (0,0,3,-2).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Estamos em forma escalonada por linhas: as linhas não-nulas são todas as três linhas mostradas. A terceira linha (0,0,3,-2) é não-nula (o pivô na coluna 3 é 3). Portanto há três pivôs distintos, um em cada linha.
Isso significa que o posto (rank) de A é 3. Como a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A, concluímos que a dimensão da imagem é 3.
Observação rápida: não pode ser maior que 3 porque a imagem está dentro de \mathbb{R}^3, e aqui achamos exatamente 3, então a imagem é um subespaço de dimensão completa em \mathbb{R}^3.

Resposta

(D) 3

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