Q7: Seja A uma matrix m \times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}, então A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}.
II - Se \vec{b} \in \operatorname{Imagem} A e n<m então A \vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções.
( \checkmark ) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Resumo do enunciado e o que é pedido.
  • Temos uma matriz \,A\in\mathbb{R}^{m\times n}\,.
  • São dadas duas afirmativas:
    I - Se Núcleo \,A=\{\overrightarrow{0}\}, então \,A\vec{x}=\vec{b}\, tem solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}.
    II - Se \vec{b}\in\operatorname{Imagem}A e n<m então \,A\vec{x}=\vec{b}\, tem infinitas soluções.
  • Temos que decidir qual alternativa (todas falsas / só I / só II / todas verdadeiras) é a correta.

Passo 2

Definições essenciais (devagarinho, como numa aulinha):
  • Núcleo (ou kernel) de \,A: \displaystyle \ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid A\vec{x}=\vec{0}\}. É o conjunto de vetores que a matriz manda para o vetor zero.
  • Imagem (ou coluna/espaço coluna) de \,A: \displaystyle \operatorname{Im}(A)=\{A\vec{x}\in\mathbb{R}^{m}\mid \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\}. É o subespaço de \mathbb{R}^m gerado pelas colunas de A.
  • Nullity (dimensão do núcleo): \dim(\ker(A)). Rank (posto): \operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Im}(A)).

Passo 3

Teorema da dimensão (Rank–Nullity), que vamos usar:
  • O teorema afirma
\operatorname{rank}(A)+\dim(\ker(A))=n.
  • Interpretação prática: se o núcleo é trivial ( \dim(\ker(A))=0), então \operatorname{rank}(A)=n. Ou seja, as colunas de A são linearmente independentes e o posto de A é n.

Passo 4

Consequência de \ker(A)=\{\vec{0}\}:
  • A hipótese \ker(A)=\{\vec{0}\} implica \operatorname{rank}(A)=n (pela rank–nullity).
  • Como \operatorname{rank}(A)\le\min\{m,n\}, ter \operatorname{rank}(A)=n exige n\le m. Então as colunas formam um conjunto de n vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^m, gerando um subespaço de dimensão n dentro de \mathbb{R}^m.

Passo 5

Análise da Afirmativa I (existência e unicidade para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^m):
  • Para que a equação A\vec{x}=\vec{b} tenha solução para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^m, é necessário e suficiente que \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^m, isto é, \operatorname{rank}(A)=m.
  • Da hipótese \ker(A)=\{\vec{0}\} temos \operatorname{rank}(A)=n. Para que isso seja igual a m precisamos ter n=m.
  • Portanto: \ker(A)=\{\vec{0}\} garante unicidade da solução sempre que a solução existir (porque nulidade zero implica nenhuma liberdade adicional), mas não garante que exista solução para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^m, salvo no caso especial n=m (matriz quadrada de posto m).
Conclusão parcial: a afirmativa I é falsa em geral (ela só seria verdadeira se além de \ker(A)=\{\vec{0}\} tivéssemos n=m).

Passo 6

Contraexemplo concreto para I (mostrando que I é falsa):
  • Tome m=3, n=2 e
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 2}.
  • As colunas de A são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, que são linearmente independentes. Logo \ker(A)=\{\vec{0}\}.
  • Escolha \vec{b}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3. Este \vec{b} não pertence à imagem de A porque todas as combinações lineares das colunas de A têm terceira coordenada zero.
  • Logo A\vec{x}=\vec{b} não tem solução para esse \vec{b}. Portanto I é falsa.]

Passo 7

Análise da Afirmativa II (quando \vec{b}\in\operatorname{Im}A e n<m):
  • A hipótese \vec{b}\in\operatorname{Im}A garante que existe pelo menos uma solução.
  • Para que haja infinitas soluções é necessário que \dim(\ker(A))\ge 1, isto é, que haja vetores não nulos no núcleo (existência de variáveis livres). Pela formulação da rank–nullity, \dim(\ker(A))=n-\operatorname{rank}(A).
  • Se \operatorname{rank}(A)=n (posto máximo de coluna, ou “full column rank”), então \dim(\ker(A))=0 e a solução, quando existe, é única.
  • Quando n<m, é possível que \operatorname{rank}(A)=n. Nesse caso temos solução única para cada \vec{b} que esteja na imagem. Então a condição n<m por si só não garante infinitas soluções.
Conclusão parcial: a afirmativa II também é falsa em geral (pode haver única solução se \operatorname{rank}(A)=n).

Passo 8

Contraexemplo concreto para II (mostrando que II é falsa):
  • Use novamente
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 2},
com n=2\), \(m=3\) (logo \(n<m\)). - Tome \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\). Tem-se \(\vec{b}\in\operatorname{Im}A\) porque \(\vec{b}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}\). - Resolver \(A\vec{x}=\vec{b}\) dá o sistema \[\begin{cases} x_1 = 1,\\[4pt] x_2 = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
  • Daí a solução é única: (\vec{x}=(1,0)^\top]. Não há infinitas soluções. Logo II é falsa.]

Passo 9

Síntese final e resposta ao enunciado:
  • Mostramos que I é falsa (existe contraexemplo com \ker(A)=\{\vec{0}\} mas nem todo \vec{b} é atingido).
  • Mostramos que II é falsa (com n<m e \vec{b}\in\operatorname{Im}A pode ocorrer solução única se \operatorname{rank}(A)=n).
Portanto a opção correta é que todas as afirmativas são falsas.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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