Q7: Seja A uma matrix m \times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}, então A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}.
II - Se \vec{b} \in \operatorname{Imagem} A e n<m então A \vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções.
( \checkmark ) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Resumo do enunciado e o que é pedido.
Temos uma matriz \,A\in\mathbb{R}^{m\times n}\,.
São dadas duas afirmativas:
I - Se Núcleo \,A=\{\overrightarrow{0}\}, então \,A\vec{x}=\vec{b}\, tem solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}.
II - Se \vec{b}\in\operatorname{Imagem}A e n<m então \,A\vec{x}=\vec{b}\, tem infinitas soluções.
Temos que decidir qual alternativa (todas falsas / só I / só II / todas verdadeiras) é a correta.
Passo 2
Definições essenciais (devagarinho, como numa aulinha):
Núcleo (ou kernel) de \,A: \displaystyle \ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid A\vec{x}=\vec{0}\}. É o conjunto de vetores que a matriz manda para o vetor zero.
Imagem (ou coluna/espaço coluna) de \,A: \displaystyle \operatorname{Im}(A)=\{A\vec{x}\in\mathbb{R}^{m}\mid \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\}. É o subespaço de \mathbb{R}^m gerado pelas colunas de A.
Nullity (dimensão do núcleo): \dim(\ker(A)). Rank (posto): \operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Im}(A)).
Passo 3
Teorema da dimensão (Rank–Nullity), que vamos usar:
O teorema afirma
\operatorname{rank}(A)+\dim(\ker(A))=n.
Interpretação prática: se o núcleo é trivial (\dim(\ker(A))=0), então \operatorname{rank}(A)=n. Ou seja, as colunas de A são linearmente independentes e o posto de A é n.
Passo 4
Consequência de \ker(A)=\{\vec{0}\}:
A hipótese \ker(A)=\{\vec{0}\} implica \operatorname{rank}(A)=n (pela rank–nullity).
Como \operatorname{rank}(A)\le\min\{m,n\}, ter \operatorname{rank}(A)=n exige n\le m. Então as colunas formam um conjunto de n vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^m, gerando um subespaço de dimensão n dentro de \mathbb{R}^m.
Passo 5
Análise da Afirmativa I (existência e unicidade para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^m):
Para que a equação A\vec{x}=\vec{b} tenha solução para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^m, é necessário e suficiente que \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^m, isto é, \operatorname{rank}(A)=m.
Da hipótese \ker(A)=\{\vec{0}\} temos \operatorname{rank}(A)=n. Para que isso seja igual a m precisamos ter n=m.
Portanto: \ker(A)=\{\vec{0}\} garante unicidade da solução sempre que a solução existir (porque nulidade zero implica nenhuma liberdade adicional), mas não garante que exista solução para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^m, salvo no caso especial n=m (matriz quadrada de posto m).
Conclusão parcial: a afirmativa I é falsa em geral (ela só seria verdadeira se além de \ker(A)=\{\vec{0}\} tivéssemos n=m).
Passo 6
Contraexemplo concreto para I (mostrando que I é falsa):
As colunas de A são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, que são linearmente independentes. Logo \ker(A)=\{\vec{0}\}.
Escolha \vec{b}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3. Este \vec{b} não pertence à imagem de A porque todas as combinações lineares das colunas de A têm terceira coordenada zero.
Logo A\vec{x}=\vec{b} não tem solução para esse \vec{b}. Portanto I é falsa.]
Passo 7
Análise da Afirmativa II (quando \vec{b}\in\operatorname{Im}A e n<m):
A hipótese \vec{b}\in\operatorname{Im}A garante que existe pelo menos uma solução.
Para que haja infinitas soluções é necessário que \dim(\ker(A))\ge 1, isto é, que haja vetores não nulos no núcleo (existência de variáveis livres). Pela formulação da rank–nullity, \dim(\ker(A))=n-\operatorname{rank}(A).
Se \operatorname{rank}(A)=n (posto máximo de coluna, ou “full column rank”), então \dim(\ker(A))=0 e a solução, quando existe, é única.
Quando n<m, é possível que \operatorname{rank}(A)=n. Nesse caso temos solução única para cada \vec{b} que esteja na imagem. Então a condição n<m por si só não garante infinitas soluções.
Conclusão parcial: a afirmativa II também é falsa em geral (pode haver única solução se \operatorname{rank}(A)=n).
Passo 8
Contraexemplo concreto para II (mostrando que II é falsa):