A pergunta específica de múltipla escolha é: qual é o valor de a_{21} (opções de 7 a 14). Vou usar todas as informações acima para encontrar a_{21}.
Passo 2
Entendendo como a matriz age nas colunas: as colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica. Ou seja, se denotarmos as colunas por
A = \begin{pmatrix} \;c_1\; & \;c_2\; & \;c_3\; \end{pmatrix},
então c_j = A e_j é a imagem do j-ésimo vetor da base. Como \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{(-1,1,2)\}, cada coluna de A é um múltiplo escalar do vetor u=(-1,1,2). Logo existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que
c_j = \alpha_j\,u \quad\text{para }j=1,2,3.
Em termos de matriz isso significa que
A = u\begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3\end{pmatrix}.
Passo 3
Relação entre núcleo e os escalares \alpha_j: para qualquer x\in\mathbb{R}^3,
A x = u\big(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\alpha_3 x_3\big).
Portanto A x = 0 se, e somente se, \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\alpha_3 x_3=0. Assim o núcleo de A é exatamente o plano formado pelos vetores x que são ortogonais ao vetor
Pela relação entre as \alpha (passo anterior) temos \alpha_1 = -\alpha_3 e \alpha_2=-\alpha_1 — mais diretamente, das igualdades \alpha_1+\alpha_3=0 e \alpha_1+\alpha_2=0 com \alpha_3=-9 obtemos