Q5: Calcule a matriz A, sabendo que:
  • a_{13}=9,
  • Núcleo A=\operatorname{span}\{(-3,-3,0),(3,0,3)\} e
  • Imagem A=\operatorname{span}\{(-1,1,2)\}.
A entrada a_{21} vale:
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11
(F) 12
(G) 13
(H) 14

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a matriz A (ou pelo menos a entrada pedida) sabendo três informações:
  • a_{13}=9 (a entrada da 1ª linha e 3ª coluna vale 9);
  • \ker A=\operatorname{span}\{(-3,-3,0),(3,0,3)\};
  • \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{(-1,1,2)\}.
A pergunta específica de múltipla escolha é: qual é o valor de a_{21} (opções de 7 a 14). Vou usar todas as informações acima para encontrar a_{21}.

Passo 2

Entendendo como a matriz age nas colunas: as colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica. Ou seja, se denotarmos as colunas por
A = \begin{pmatrix} \;c_1\; & \;c_2\; & \;c_3\; \end{pmatrix},
então c_j = A e_j é a imagem do j-ésimo vetor da base. Como \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{(-1,1,2)\}, cada coluna de A é um múltiplo escalar do vetor u=(-1,1,2). Logo existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que
c_j = \alpha_j\,u \quad\text{para }j=1,2,3.
Em termos de matriz isso significa que
A = u\begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3\end{pmatrix}.

Passo 3

Relação entre núcleo e os escalares \alpha_j: para qualquer x\in\mathbb{R}^3,
A x = u\big(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\alpha_3 x_3\big).
Portanto A x = 0 se, e somente se, \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\alpha_3 x_3=0. Assim o núcleo de A é exatamente o plano formado pelos vetores x que são ortogonais ao vetor
w=\begin{pmatrix}\alpha_1\\[2pt]\alpha_2\\[2pt]\alpha_3\end{pmatrix}.
Em outras palavras, \ker A = \{x\in\mathbb{R}^3 : w^\top x = 0\}. Então w deve ser ortogonal aos geradores do núcleo fornecido.]

Passo 4

Impor ortogonalidade de w com os geradores do núcleo. Seja w=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3). Devemos ter
w\cdot(-3,-3,0)=0,\qquad w\cdot(3,0,3)=0.
Escrevendo essas equalidades:
-3\alpha_1 -3\alpha_2 + 0\cdot\alpha_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad \alpha_1+\alpha_2=0,
3\alpha_1 +0\cdot\alpha_2 +3\alpha_3=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha_1+\alpha_3=0.
Dessas duas equações obtemos
\alpha_2 = -\alpha_1,\qquad \alpha_3 = -\alpha_1.
Portanto w é proporcional a (1,-1,-1). Qualquer múltiplo não-nulo de (1,-1,-1) serve para definir o mesmo núcleo.

Passo 5

Usar a informação a_{13}=9. A coluna c_3 vale \alpha_3 u. O elemento a_{13} é a primeira componente de c_3, logo
a_{13} = (\alpha_3 u)_1 = \alpha_3\cdot u_1 = \alpha_3\cdot(-1).
Como a_{13}=9, segue
\alpha_3\cdot(-1)=9 \quad\Rightarrow\quad \alpha_3 = -9.
Pela relação entre as \alpha (passo anterior) temos \alpha_1 = -\alpha_3 e \alpha_2=-\alpha_1 — mais diretamente, das igualdades \alpha_1+\alpha_3=0 e \alpha_1+\alpha_2=0 com \alpha_3=-9 obtemos
\alpha_1 = -\alpha_3 = 9,\qquad \alpha_2 = -\alpha_1 = -9.
Assim o vetor w=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) é
w=(9,-9,-9).

Passo 6

Agora podemos escrever explicitamente as colunas de A:
c_1=\alpha_1 u = 9\cdot(-1,1,2)=(-9,9,18),
c_2=\alpha_2 u = -9\cdot(-1,1,2)=(9,-9,-18),
c_3=\alpha_3 u = -9\cdot(-1,1,2)=(9,-9,-18).
(Repare que c_2 e c_3 coincidem aqui porque \alpha_2=\alpha_3.)

Passo 7

A entrada pedida é a_{21}, que é a segunda linha e primeira coluna, ou seja a segunda componente de c_1. Da expressão de c_1 encontramos
a_{21} = 9.

Resposta

(C) 9

Exercícios relacionados