Q6: A equação do círculo com centro em
e raio
é dada por:
. Abrindo a expressão obtemos:
onde
.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre
e
, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
e
. Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 12.3
(B) 13.3
(C) 14.3
(D) 15.3
(E) 16.3
(F) 17.3
(G) 18.3
(H) 19.3
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 12.3
(B) 13.3
(C) 14.3
(D) 15.3
(E) 16.3
(F) 17.3
(G) 18.3
(H) 19.3
Passo 1
O enunciado pede o círculo que passa por
,
e
.
O conteúdo é geometria analítica (equação geral do círculo) e sistemas lineares:
a equação geral é
O conteúdo é geometria analítica (equação geral do círculo) e sistemas lineares:
a equação geral é
onde os coeficientes satisfazem
Passo 2
Para cada ponto
substituímos na equação geral e obtemos três equações em
.
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 3
Eliminamos
subtraindo as equações:
da segunda menos a terceira:
da segunda menos a terceira:
usando
na primeira menos a segunda:
Passo 4
Agora
e
. Escolhemos, por exemplo,
Passo 5
Da relação
e
vem
E de
segue
Passo 6
Entre as opções dadas, o valor mais próximo de
é 14,3.
Resposta
(C) 14.3