Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x_{0}, y_{0}, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (4,4),(1,5) e (-5,5). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 12.3
(B) 13.3
(C) 14.3
(D) 15.3
(E) 16.3
(F) 17.3
(G) 18.3
(H) 19.3

Passo 1

O enunciado pede o círculo que passa por (4,4), (1,5) e (-5,5).
O conteúdo é geometria analítica (equação geral do círculo) e sistemas lineares:
a equação geral é
x^2 + a x + y^2 + b y = c
onde os coeficientes satisfazem
a = -2x_{0},\quad b = -2y_{0},\quad c = r^2 - x_{0}^2 - y_{0}^2.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) substituímos na equação geral e obtemos três equações em a,b,c.
Para (4,4):
4^2 + a\cdot 4 + 4^2 + b\cdot 4 = c \quad\Longrightarrow\quad 4a + 4b + 32 = c.
Para (1,5):
1^2 + a\cdot 1 + 5^2 + b\cdot 5 = c \quad\Longrightarrow\quad a + 5b + 26 = c.
Para (-5,5):
(-5)^2 + a\cdot(-5) + 5^2 + b\cdot 5 = c \quad\Longrightarrow\quad -5a + 5b + 50 = c.

Passo 3

Eliminamos c subtraindo as equações:
da segunda menos a terceira:
(a + 5b + 26) - (-5a + 5b + 50) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6a - 24 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 4.
usando a=4 na primeira menos a segunda:
(4a + 4b + 32) - (a + 5b + 26) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3a - b + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = 18.

Passo 4

Agora a=4 e b=18. Escolhemos, por exemplo,
c = a + 5b + 26 = 4 + 90 + 26 = 120.

Passo 5

Da relação a=-2x_{0} e b=-2y_{0} vem
x_{0} = -\frac{a}{2} = -2, \quad y_{0} = -\frac{b}{2} = -9.
E de c = r^2 - x_{0}^2 - y_{0}^2 segue
r^2 = c + x_{0}^2 + y_{0}^2 = 120 + 4 + 81 = 205 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{205} \approx 14{,}32.

Passo 6

Entre as opções dadas, o valor mais próximo de r\approx14{,}32 é 14,3.

Resposta

(C) 14.3

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