Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
A) Só I é verdadeira.
B) Só III é verdadeira.
C) Todas são falsas.
D) Só II é verdadeira.
E) Só II e III são verdadeiras.
F) Todas são verdadeiras.
G) Só I e II são verdadeiras.
H) Só I e III são verdadeiras.
I) Se
é LD, entāo
tem infinitas soluções.
II) Se
é LI, então
tem solução única.
III) Se
é LD, então
pode ter solução única.
A) Só I é verdadeira.
B) Só III é verdadeira.
C) Todas são falsas.
D) Só II é verdadeira.
E) Só II e III são verdadeiras.
F) Todas são verdadeiras.
G) Só I e II são verdadeiras.
H) Só I e III são verdadeiras.
I) Se
II) Se
III) Se
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados:
. - Dois sistemas (matrizes aumentadas):
-
. Este é o sistema homogêneo cujas incógnitas são escalares e que representa a equação -
. Este corresponde ao sistema com incógnitas que representa
-
- Pergunta: analisar as afirmativas I, II, III e indicar quais são verdadeiras:
I) Seé LD, então tem infinitas soluções.
II) Seé LI, então tem solução única.
III) Seé LD, então pode ter solução única.
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Entender bem o que significa
ser LD ou LI e a relação com
.
- Definição prática:
é linearmente dependente (LD) se existem escalares, nem todos zero, tais que Ou seja, o sistema homogêneo tem uma solução não-trivial. - Observação sobre soluções de sistemas homogêneos: o conjunto de soluções de
é um subespaço vetorial de (os vetores de coeficientes ). Se além da solução trivial existir alguma solução não-trivial, então existe uma reta (na verdade um subespaço de dimensão ) de soluções: se é solução não-trivial, então para todo o múltiplo também é solução. - Conclusão prática: existência de solução não-trivial implica infinitas soluções (basta multiplicar por
variando).
Portanto a afirmativa I parece verdadeira. Vou explicitar claramente.
Passo 3
Prova detalhada de I (para que entre na prova sem medo):
- Se
é LD então existe um vetor de coeficientes tal que - Para qualquer
temos isto é, também é solução de . - Como
pode assumir infinitos valores reais distintos, obtemos infinitas soluções distintas. Logo tem infinitas soluções.
Conclusão: I é verdadeira.
Passo 4
Analisar a afirmativa II: “Se
é LI, então
tem solução única.”
- Lembrete:
pergunta se existem tais que ; é a afirmação de que . - Se
é LI, então nenhuma das três vetores é combinação linear das outras duas. Em particular NÃO é combinação linear de e . Portanto não existe tal que . - Assim
não tem solução alguma (zero soluções), o que contradiz a afirmação “tem solução única”. - Observação extra (didática): se
estivesse no span e fossem LI, então a representação seria única. Mas no caso dado, LI de todo o conjunto força a inexistência da representação.
Conclusão: II é falsa.
Passo 5
Analisar a afirmativa III: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
- A frase “pode ter” significa: existe pelo menos um caso em que
é LD e tem solução única. Então para provar que a afirmativa é verdadeira basta dar um exemplo concreto e explicar por que funciona. - Construção de um exemplo simples em
:
TomeAqui , logo é LD (porque dá uma relação não-trivial). - Agora veja
: resolver com esses vetores é resolver Isso dá o sistema escalar , (e as demais coordenadas triviais). Logo existe solução e ela é única: . - Por que é única neste exemplo? Porque
e são linearmente independentes entre si; quando dois vetores são LI, a representação de um vetor do span por combinação desses dois é única. Aqui está no span e a independência de garante unicidade.
Conclusão: é possível ter
LD e ainda
com solução única; logo III é verdadeira.
Passo 6
Resumo final das verdades/mentiras das afirmativas e escolha da alternativa:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
A alternativa que diz “Só I e III são verdadeiras” é a opção
.
Resposta
H) Só I e III são verdadeiras.