Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{6} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \text { e } S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] \text { . }
Considere as afirmativas abaixo:
A) Só I é verdadeira.
B) Só III é verdadeira.
C) Todas são falsas.
D) Só II é verdadeira.
E) Só II e III são verdadeiras.
F) Todas são verdadeiras.
G) Só I e II são verdadeiras.
H) Só I e III são verdadeiras.
I) Se \beta é LD, entāo S_{1} tem infinitas soluções.
II) Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
III) Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{6}.
  • Dois sistemas (matrizes aumentadas):
    • S_{1}:\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0}\end{array}\right]. Este é o sistema homogêneo cujas incógnitas são escalares c_{1},c_{2},c_{3} e que representa a equação c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
    • S_{2}:\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3}\end{array}\right]. Este corresponde ao sistema com incógnitas x,y que representa x\vec{v}_{1}+y\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}.
  • Pergunta: analisar as afirmativas I, II, III e indicar quais são verdadeiras:
    I) Se \beta é LD, então S_{1} tem infinitas soluções.
    II) Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.
    III) Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Entender bem o que significa \beta ser LD ou LI e a relação com S_{1}.
  • Definição prática: \beta é linearmente dependente (LD) se existem escalares, nem todos zero, tais que c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.Ou seja, o sistema homogêneo S_{1} tem uma solução não-trivial.
  • Observação sobre soluções de sistemas homogêneos: o conjunto de soluções de S_{1} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} (os vetores de coeficientes (c_{1},c_{2},c_{3})). Se além da solução trivial (0,0,0) existir alguma solução não-trivial, então existe uma reta (na verdade um subespaço de dimensão \ge1) de soluções: se c=(c_{1},c_{2},c_{3}) é solução não-trivial, então para todo t\in\mathbb{R} o múltiplo t c também é solução.
  • Conclusão prática: existência de solução não-trivial implica infinitas soluções (basta multiplicar por t variando).
Portanto a afirmativa I parece verdadeira. Vou explicitar claramente.

Passo 3

Prova detalhada de I (para que entre na prova sem medo):
  • Se \beta é LD então existe um vetor de coeficientes c=(c_{1},c_{2},c_{3})\neq(0,0,0) tal que c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
  • Para qualquer t\in\mathbb{R} temos (t c_{1})\vec{v}_{1}+(t c_{2})\vec{v}_{2}+(t c_{3})\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0},isto é, t c também é solução de S_{1}.
  • Como t pode assumir infinitos valores reais distintos, obtemos infinitas soluções distintas. Logo S_{1} tem infinitas soluções.
Conclusão: I é verdadeira.

Passo 4

Analisar a afirmativa II: “Se \beta é LI, então S_{2} tem solução única.”
  • Lembrete: S_{2} pergunta se existem x,y tais que x\vec{v}_{1}+y\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}; é a afirmação de que \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
  • Se \beta é LI, então nenhuma das três vetores é combinação linear das outras duas. Em particular \vec{v}_{3} NÃO é combinação linear de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. Portanto não existe (x,y) tal que x\vec{v}_{1}+y\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}.
  • Assim S_{2} não tem solução alguma (zero soluções), o que contradiz a afirmação “tem solução única”.
  • Observação extra (didática): se \vec{v}_{3} estivesse no span e \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} fossem LI, então a representação seria única. Mas no caso dado, LI de todo o conjunto força a inexistência da representação.
Conclusão: II é falsa.

Passo 5

Analisar a afirmativa III: “Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.”
  • A frase “pode ter” significa: existe pelo menos um caso em que \beta é LD e S_{2} tem solução única. Então para provar que a afirmativa é verdadeira basta dar um exemplo concreto e explicar por que funciona.
  • Construção de um exemplo simples em \mathbb{R}^{6}:
    Tome \vec{v}_{1}=(1,0,0,0,0,0),\qquad \vec{v}_{2}=(0,1,0,0,0,0),\qquad \vec{v}_{3}=(1,0,0,0,0,0).Aqui \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}, logo \beta é LD (porque \vec{v}_{3}-\vec{v}_{1}=\overrightarrow{0} dá uma relação não-trivial).
  • Agora veja S_{2}: resolver x\vec{v}_{1}+y\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} com esses vetores é resolver x(1,0,0,0,0,0)+y(0,1,0,0,0,0)=(1,0,0,0,0,0).Isso dá o sistema escalar x=1, y=0 (e as demais coordenadas triviais). Logo existe solução e ela é única: (x,y)=(1,0).
  • Por que é única neste exemplo? Porque \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são linearmente independentes entre si; quando dois vetores são LI, a representação de um vetor do span por combinação desses dois é única. Aqui \vec{v}_{3} está no span e a independência de \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} garante unicidade.
Conclusão: é possível ter \beta LD e ainda S_{2} com solução única; logo III é verdadeira.

Passo 6

Resumo final das verdades/mentiras das afirmativas e escolha da alternativa:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
A alternativa que diz “Só I e III são verdadeiras” é a opção \text{H}.

Resposta

H) Só I e III são verdadeiras.

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