Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
Passo 1
O enunciado pede que eu identifique, discuta e esboce a(s) superfície(s) dada(s) pela equação
Informações dadas:
- A equação relaciona as coordenadas
no espaço tridimensional . - Não há outras restrições explícitas (portanto consideramos todos os pontos
que satisfazem a equação).
O que é pedido: - Identificar que tipo de superfície é essa.
- Discutir propriedades (interseções com planos coordenados, domínio quando vista como gráfico, normal, parametração, áreas/volume, simetrias, etc.).
- Dar instruções claras de como esboçar essa superfície no papel.
Passo 2
Identificação geométrica básica: reconhecer a equação como medida de distância ao centro.
- A distância de um ponto
à origem é . - A equação
diz que essa distância ao quadrado vale , logo a distância vale .
Conclusão: a superfície é a esfera de raiocentrada na origem. Em palavras curtinhas: é a “esfera unitária centrada em ”.
Passo 3
Interpretação como nível de uma função e normal à superfície.
- Defino
. A superfície é o conjunto . - O gradiente
fornece um vetor normal à superfície em cada ponto:
- Para a esfera unitária, o vetor normal em
é proporcional ao próprio vetor posição . Isto mostra que a normal aponta radialmente para fora/para dentro — característica esperada de uma esfera.
Passo 4
Equação do plano tangente em um ponto qualquer da esfera.
- Tomando um ponto da esfera
(que satisfaz ), a condição do plano tangente usando o gradiente é
- Substituindo
obtemos
que simplifica para
- Exemplo rápido: no ponto
a equação do plano tangente é , ou seja .
Passo 5
Traços (interseções com planos coordenados e seções por planos paralelos).
- Interseção com o plano
: obtemos , que é o círculo de raio no plano . - Interseção com
: obtemos , círculo de raio no plano . - Interseção com
: obtemos . - Interseção com o eixo
(isto é, pontos com ): soluções . Análogo para os outros eixos: e . - Interseção com o plano
(fixo): substituindo obtemos
Isso é um círculo de raio
, desde que
. Para
não há interseção. Isso mostra as “fatias” horizontais: círculos cujo raio varia de
(em
) até
(em
).
Passo 6
Ver a esfera como união de dois gráficos (hemisférios).
- Resolvendo a equação para
obtemos dois ramos:
com domínio
.
- Cada uma dessas funções descreve um hemisfério (superior e inferior). Em provas, muitas vezes é útil usar essa forma quando pedem integrais ou esboços.
Passo 7
Parametrização usual por coordenadas esféricas (muito útil para cálculos e para esboçar).
- Em coordenadas esféricas, para raio
temos os parâmetros (colatitude) e (longitude):
com
e
.
- Esta parametrização percorre toda a esfera exatamente uma vez. É a forma padrão para integrar sobre a esfera.
Passo 8
Cálculo da área superficial da esfera unitária (passo a passo direto).
- Usando a parametrização do passo anterior, a área elementar é
. - Então a área total é
- Calculo:
Logo
Portanto a área da esfera unitária é
.
Passo 9
Cálculo do volume do interior da esfera (passo a passo).
- Em coordenadas esféricas a diferencial de volume é
. Como a esfera tem variando de a , temos
- Integramos em
:
- Já a integral em
é a mesma do passo anterior e vale . Logo
Portanto o volume do interior da esfera unitária é
.
Passo 10
Propriedades topológicas e simetrias — coisas para lembrar na prova.
- A esfera é fechada e limitada (portanto compacta).
- É conexa e orientável (tem “lado interno” e “lado externo” bem definidos).
- É simétrica por rotações ao redor da origem: qualquer rotação em torno da origem leva a esfera sobre si mesma.
- A esfera tem gênero
(topologicamente equivalente à superfície de uma bola sem furos).
Essas propriedades aparecem frequentemente em enunciados que pedem “classifique” ou “discuta” a superfície.
Passo 11
Como esboçar a esfera no papel (passo-a-passo prático).
- Desenhe três eixos mutuamente ortogonais etiquetados
, , (o eixo normalmente vertical). - No plano
desenhe um círculo de raio centrado na origem. Esse é o traço do “meio” da esfera. - Marque os pontos de interseção com os eixos:
, , . - Desenhe linhas curvas suaves para representar a “curvatura” para frente (hemisfério dianteiro) e para trás (hemisfério traseiro). Use traço cheio para a frente e tracejado para partes ocultas atrás.
- Se quiser, acrescente um meridiano e um paralelo: por exemplo, interseção com
dá um círculo de raio ; desenhe um paralelo para visualizar.
Dica motivadora: pense na esfera como “toda direção a mesma distância da origem” — isso ajuda a não complicar o esboço.
Passo 12
Perguntas típicas em provas e como responder rápido:
- “Qual é o plano tangente em
?” — responda com . - “Parametrize a superfície” — use
, , . - “Calcule área/volume” — decore os resultados
e para ; para raio generalize por multiplicar por potências de . - “Interseção com
?” — círculo de raio (se ).
Mantenha esses itens prontos na cabeça: rapidamente resolvem boa parte das questões envolvendo essa superfície.
Resposta
A superfície é a esfera unitária centrada na origem (conjunto dos pontos com distância
à origem).
Parametrização: , com
.
Hemissférios como gráficos: com
.
Plano tangente em :
.
Área superficial: .
Volume interior: .
Parametrização:
Hemissférios como gráficos:
Plano tangente em
Área superficial:
Volume interior: