Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique, discuta e esboce a(s) superfície(s) dada(s) pela equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Informações dadas:
  • A equação relaciona as coordenadas (x,y,z) no espaço tridimensional \mathbb{R}^{3}.
  • Não há outras restrições explícitas (portanto consideramos todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} que satisfazem a equação).
    O que é pedido:
  • Identificar que tipo de superfície é essa.
  • Discutir propriedades (interseções com planos coordenados, domínio quando vista como gráfico, normal, parametração, áreas/volume, simetrias, etc.).
  • Dar instruções claras de como esboçar essa superfície no papel.

Passo 2

Identificação geométrica básica: reconhecer a equação como medida de distância ao centro.
  • A distância de um ponto (x,y,z) à origem é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • A equação \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 diz que essa distância ao quadrado vale 1, logo a distância vale 1.
    Conclusão: a superfície é a esfera de raio 1 centrada na origem. Em palavras curtinhas: é a “esfera unitária centrada em (0,0,0)”.

Passo 3

Interpretação como nível de uma função e normal à superfície.
  • Defino F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1. A superfície é o conjunto \{(x,y,z)\mid F(x,y,z)=0\}.
  • O gradiente \nabla F fornece um vetor normal à superfície em cada ponto:
\nabla F(x,y,z)=(2x,\,2y,\,2z).
  • Para a esfera unitária, o vetor normal em (x_{0},y_{0},z_{0}) é proporcional ao próprio vetor posição (x_{0},y_{0},z_{0}). Isto mostra que a normal aponta radialmente para fora/para dentro — característica esperada de uma esfera.

Passo 4

Equação do plano tangente em um ponto qualquer da esfera.
  • Tomando um ponto da esfera (x_{0},y_{0},z_{0}) (que satisfaz \,x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}=1), a condição do plano tangente usando o gradiente é
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})\bigr)=0.
  • Substituindo \nabla F obtemos
2x_{0}(x-x_{0})+2y_{0}(y-y_{0})+2z_{0}(z-z_{0})=0,
que simplifica para
x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=1.
  • Exemplo rápido: no ponto (0,0,1) a equação do plano tangente é 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z=1, ou seja z=1.

Passo 5

Traços (interseções com planos coordenados e seções por planos paralelos).
  • Interseção com o plano z=0: obtemos x^{2}+y^{2}=1, que é o círculo de raio 1 no plano xy.
  • Interseção com x=0: obtemos y^{2}+z^{2}=1, círculo de raio 1 no plano yz.
  • Interseção com y=0: obtemos x^{2}+z^{2}=1.
  • Interseção com o eixo x (isto é, pontos com y=z=0): soluções (\pm 1,0,0). Análogo para os outros eixos: (0,\pm1,0) e (0,0,\pm1).
  • Interseção com o plano z=c (fixo): substituindo obtemos
x^{2}+y^{2}=1-c^{2}.
Isso é um círculo de raio \sqrt{1-c^{2}}, desde que |c|\le 1. Para |c|>1 não há interseção. Isso mostra as “fatias” horizontais: círculos cujo raio varia de 0 (em c=\pm1) até 1 (em c=0).

Passo 6

Ver a esfera como união de dois gráficos (hemisférios).
  • Resolvendo a equação para z obtemos dois ramos:
z=+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\quad\text{e}\quad z=-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}},
com domínio \,x^{2}+y^{2}\le 1.
  • Cada uma dessas funções descreve um hemisfério (superior e inferior). Em provas, muitas vezes é útil usar essa forma quando pedem integrais ou esboços.

Passo 7

Parametrização usual por coordenadas esféricas (muito útil para cálculos e para esboçar).
  • Em coordenadas esféricas, para raio r=1 temos os parâmetros \varphi (colatitude) e \theta (longitude):
x=\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi).
  • Esta parametrização percorre toda a esfera exatamente uma vez. É a forma padrão para integrar sobre a esfera.

Passo 8

Cálculo da área superficial da esfera unitária (passo a passo direto).
  • Usando a parametrização do passo anterior, a área elementar é \,dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
  • Então a área total é
\text{Área}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.Á
  • Calculo:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=2.
Logo
\text{Área}=\int_{0}^{2\pi}2\,d\theta=2\cdot 2\pi=4\pi.Á
Portanto a área da esfera unitária é \,4\pi.

Passo 9

Cálculo do volume do interior da esfera (passo a passo).
  • Em coordenadas esféricas a diferencial de volume é r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. Como a esfera tem r variando de 0 a 1, temos
\text{Volume}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Integramos em r:
\int_{0}^{1} r^{2}\,dr=\frac{1}{3}.
  • Já a integral em \varphi é a mesma do passo anterior e vale 2. Logo
\text{Volume}= \int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{3}\cdot 2\right)d\theta = \frac{2}{3}\cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}.
Portanto o volume do interior da esfera unitária é \,\dfrac{4\pi}{3}.

Passo 10

Propriedades topológicas e simetrias — coisas para lembrar na prova.
  • A esfera é fechada e limitada (portanto compacta).
  • É conexa e orientável (tem “lado interno” e “lado externo” bem definidos).
  • É simétrica por rotações ao redor da origem: qualquer rotação em torno da origem leva a esfera sobre si mesma.
  • A esfera tem gênero 0 (topologicamente equivalente à superfície de uma bola sem furos).
    Essas propriedades aparecem frequentemente em enunciados que pedem “classifique” ou “discuta” a superfície.

Passo 11

Como esboçar a esfera no papel (passo-a-passo prático).
  1. Desenhe três eixos mutuamente ortogonais etiquetados x, y, z (o eixo z normalmente vertical).
  2. No plano xy desenhe um círculo de raio 1 centrado na origem. Esse é o traço do “meio” da esfera.
  3. Marque os pontos de interseção com os eixos: (\pm1,0,0), (0,\pm1,0), (0,0,\pm1).
  4. Desenhe linhas curvas suaves para representar a “curvatura” para frente (hemisfério dianteiro) e para trás (hemisfério traseiro). Use traço cheio para a frente e tracejado para partes ocultas atrás.
  5. Se quiser, acrescente um meridiano e um paralelo: por exemplo, interseção com z=c dá um círculo de raio \sqrt{1-c^{2}}; desenhe um paralelo para visualizar.
    Dica motivadora: pense na esfera como “toda direção a mesma distância da origem” — isso ajuda a não complicar o esboço.

Passo 12

Perguntas típicas em provas e como responder rápido:
  • “Qual é o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0})?” — responda com x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=1.
  • “Parametrize a superfície” — use x=\sin\varphi\cos\theta, y=\sin\varphi\sin\theta, z=\cos\varphi.
  • “Calcule área/volume” — decore os resultados \text{Área}=4\piÁ e \text{Volume}=\dfrac{4\pi}{3} para r=1; para raio r generalize por multiplicar por potências de r.
  • “Interseção com z=c?” — círculo de raio \sqrt{1-c^{2}} (se |c|\le1).
    Mantenha esses itens prontos na cabeça: rapidamente resolvem boa parte das questões envolvendo essa superfície.

Resposta

A superfície é a esfera unitária centrada na origem (conjunto dos pontos com distância 1 à origem).
Parametrização: x=\sin\varphi\cos\theta,\; y=\sin\varphi\sin\theta,\; z=\cos\varphi, com \varphi\in[0,\pi],\;\theta\in[0,2\pi).
Hemissférios como gráficos: z=\pm\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} com x^{2}+y^{2}\le1.
Plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}): x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=1.
Área superficial: 4\pi.
Volume interior: \dfrac{4\pi}{3}.

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