Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} -16 \\\\ 4 \\\\ -2 \\\\ 4 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} -7 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\}} \end{aligned}
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. (Observaçāo: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -14
(B) -13
(C) -12
(D) -11
(E) -10
(F) -9
(G) -8
(H) -7

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4. Vou escrever explicitamente o que foi dado e o que se pede.
  • Primeiro plano: ponto de apoio
A=\begin{bmatrix}-16\\[2pt]4\\[2pt]-2\\[2pt]4\end{bmatrix}
e geradores
v_1=\begin{bmatrix}3\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{bmatrix},\qquad v_2=\begin{bmatrix}-1\\[2pt]-2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{bmatrix}.
  • Segundo plano: ponto de apoio
B=\begin{bmatrix}-7\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]2\end{bmatrix}
e geradores
w_1=\begin{bmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]3\\[2pt]-3\end{bmatrix},\qquad w_2=\begin{bmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]2\\[2pt]-3\end{bmatrix}.
O que o problema pede:
  • Calcular o ponto \big(x_1,x_2,x_3,x_4\big) em que os dois planos se interceptam.
  • Em particular, identificar o valor de x_1 entre as alternativas fornecidas.
(Notação que vou usar: parâmetros do primeiro plano \;s,t\in\mathbb{R};; parâmetros do segundo plano \;u,v\in\mathbb{R}.)]

Passo 2

Escrever as equações paramétricas dos dois planos e igualá‑las (ponto comum). O ponto genérico do primeiro plano é
P_A=A+s\,v_1+t\,v_2=\begin{bmatrix}-16\\[2pt]4\\[2pt]-2\\[2pt]4\end{bmatrix} +s\begin{bmatrix}3\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}-1\\[2pt]-2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{bmatrix}.
O ponto genérico do segundo plano é
P_B=B+u\,w_1+v\,w_2=\begin{bmatrix}-7\\[2pt]2\\[2pt]1\\[2pt]2\end{bmatrix} +u\begin{bmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]3\\[2pt]-3\end{bmatrix} +v\begin{bmatrix}0\\[2pt]2\\[2pt]2\\[2pt]-3\end{bmatrix}.
Para o ponto de interseção devemos ter P_A=P_B\). Igualando componente a componente obtemos o sistema em \(s,t,u,v\): \[\begin{cases} -16+3s-t = -7+3u,\\[4pt] 4 - s -2t = 2 + 2u + 2v,\\[4pt] -2 + s + t = 1 + 3u + 2v,\\[4pt] 4 - s + 3t = 2 -3u -3v. \end{cases}
Rearranjando as equações para termos na ordem ((s,t,u,v)] obtemos
\begin{cases} 3s - t -3u = 9,\\[4pt] s +2t +2u +2v = 2,\\[4pt] s + t -3u -2v = 3,\\[4pt] s -3t -3u -3v = 2. \end{cases}]

Passo 3

Transformo o sistema em matriz aumentada e começo eliminação de Gauss. A matriz aumentada (linhas correspondendo às equações acima) é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & -1 & -3 & 0 & 9\\[4pt] 1 & 2 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 1 & -3 & -2 & 3\\[4pt] 1 & -3 & -3 & -3 & 2 \end{array}\right].
Para eliminar a primeira coluna nas linhas 2,3,4 faço operações inteiras para evitar frações iniciais:
\begin{aligned} \text{R2} &\leftarrow 3\cdot\text{R2} - \text{R1},\\[2pt] \text{R3} &\leftarrow 3\cdot\text{R3} - \text{R1},\\[2pt] \text{R4} &\leftarrow 3\cdot\text{R4} - \text{R1}. \end{aligned}
Calculando cada uma:
  • 3\cdot\text{R2}=[3,6,6,6\mid6] e subtraindo R1 obtém-se [0,7,9,6\mid-3].
  • 3\cdot\text{R3}=[3,3,-9,-6\mid9] e subtraindo R1 obtém-se [0,4,-6,-6\mid0].
  • 3\cdot\text{R4}=[3,-9,-9,-9\mid6] e subtraindo R1 obtém-se [0,-8,-6,-9\mid-3].
Assim a matriz vira
\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & -1 & -3 & 0 & 9\\[4pt] 0 & 7 & 9 & 6 & -3\\[4pt] 0 & 4 & -6 & -6 & 0\\[4pt] 0 & -8 & -6 & -9 & -3 \end{array}\right].]

Passo 4

Continuo eliminando na segunda coluna (usar pivot 7 na R2). Faço combinações inteiras:
\begin{aligned} \text{R3} &\leftarrow 7\cdot\text{R3} - 4\cdot\text{R2},\\[2pt] \text{R4} &\leftarrow 7\cdot\text{R4} + 8\cdot\text{R2}. \end{aligned}
Calculemos:
  • 7\cdot\text{R3}=[0,28,-42,-42\mid0], 4\cdot\text{R2}=[0,28,36,24\mid-12]. Subtraindo: [0,0,-78,-66\mid12].
  • 7\cdot\text{R4}=[0,-56,-42,-63\mid-21], 8\cdot\text{R2}=[0,56,72,48\mid-24]. Somando: [0,0,30,-15\mid-45].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & -1 & -3 & 0 & 9\\[4pt] 0 & 7 & 9 & 6 & -3\\[4pt] 0 & 0 & -78 & -66 & 12\\[4pt] 0 & 0 & 30 & -15 & -45 \end{array}\right].]

Passo 5

Simplifico as linhas 3 e 4 e elimino a terceira coluna da linha 4 usando a linha 3. Observe que R3 tem -78 na coluna 3 e R4 tem 30. Faço a combinação inteira:
\text{R4}\leftarrow 13\cdot\text{R4} + 5\cdot\text{R3}.
Porque 13\cdot 30 + 5\cdot(-78) = 390 - 390 = 0. Calcule as constantes também:
  • 13\cdot\text{R4}=[0,0,390,-195\mid-585].
  • 5\cdot\text{R3}=[0,0,-390,-330\mid60].
    Somando obtém-se [0,0,0,-525\mid-525].
A matriz triangular resultante é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 3 & -1 & -3 & 0 & 9\\[4pt] 0 & 7 & 9 & 6 & -3\\[4pt] 0 & 0 & -78 & -66 & 12\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -525 & -525 \end{array}\right].
Da última linha vem diretamente
-525\,v = -525 \quad\Rightarrow\quad v = 1.]

Passo 6

Retro‑substituo para encontrar os outros parâmetros.
  • Da linha 3: -78\,u -66\,v = 12. Substituindo v=1:
-78\,u -66 = 12 \quad\Rightarrow\quad -78\,u = 78 \quad\Rightarrow\quad u = -1.
  • Da linha 2: 7\,t + 9\,u + 6\,v = -3. Substituindo u=-1,\;v=1:
7\,t + 9(-1) + 6(1) = -3 \quad\Rightarrow\quad 7\,t -9 +6 = -3 \quad\Rightarrow\quad 7\,t -3 = -3,
logo 7\,t = 0 e portanto t = 0.
  • Da linha 1: 3\,s - t -3\,u = 9. Substituindo t=0,\;u=-1:
3\,s - 0 -3(-1) = 9 \quad\Rightarrow\quad 3\,s +3 = 9 \quad\Rightarrow\quad 3\,s = 6,
logo s = 2.
Resumo dos parâmetros: \;s=2,\;t=0,\;u=-1,\;v=1.

Passo 7

Calculo o ponto de interseção usando os parâmetros do primeiro plano (poderia usar o segundo também; devem dar o mesmo ponto). Substituindo s=2,\;t=0 em P_A:
P_A = A + 2\,v_1 + 0\cdot v_2 = \begin{bmatrix}-16\\[2pt]4\\[2pt]-2\\[2pt]4\end{bmatrix} +2\begin{bmatrix}3\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-16+6\\[2pt]4-2\\[2pt]-2+2\\[2pt]4-2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-10\\[2pt]2\\[2pt]0\\[2pt]2\end{bmatrix}.
Portanto o ponto de interseção é \big(x_1,x_2,x_3,x_4\big)=\big(-10,\,2,\,0,\,2\big). O valor de x_1 é -10.]

Resposta

(E) -10

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