Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. (Observaçāo: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -14
(B) -13
(C) -12
(D) -11
(E) -10
(F) -9
(G) -8
(H) -7
Passo 1
O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4. Vou escrever explicitamente o que foi dado e o que se pede.
Para o ponto de interseção devemos ter P_A=P_B\). Igualando componente a componente obtemos o sistema em \(s,t,u,v\):
\[\begin{cases} -16+3s-t = -7+3u,\\[4pt] 4 - s -2t = 2 + 2u + 2v,\\[4pt] -2 + s + t = 1 + 3u + 2v,\\[4pt] 4 - s + 3t = 2 -3u -3v. \end{cases}
Rearranjando as equações para termos na ordem ((s,t,u,v)] obtemos \begin{cases} 3s - t -3u = 9,\\[4pt] s +2t +2u +2v = 2,\\[4pt] s + t -3u -2v = 3,\\[4pt] s -3t -3u -3v = 2. \end{cases}]
Passo 3
Transformo o sistema em matriz aumentada e começo eliminação de Gauss. A matriz aumentada (linhas correspondendo às equações acima) é
Simplifico as linhas 3 e 4 e elimino a terceira coluna da linha 4 usando a linha 3. Observe que R3 tem -78 na coluna 3 e R4 tem 30. Faço a combinação inteira:
Calculo o ponto de interseção usando os parâmetros do primeiro plano (poderia usar o segundo também; devem dar o mesmo ponto). Substituindo s=2,\;t=0 em P_A: