Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (2,-3,-4,4) e ( -1,3,1,0 ) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \theta entre os vetores (2,-3,-4,4) e (-1,3,1,0) em \mathbb{R}^{4}, e apresenta alternativas de intervalos para \theta.
Informações dadas: os dois vetores são
\mathbf{u} = (2,-3,-4,4)
\mathbf{v} = (-1,3,1,0)
A tarefa é calcular \theta e identificar em qual das faixas oferecidas (A)–(H) ele se encontra.

Passo 2

Conceito importante (aulas rápidas e objetivas): o ângulo \theta entre dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^{n} é obtido pela fórmula do produto escalar:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta.
Aqui:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar (soma dos produtos das coordenadas correspondentes);
  • \|\mathbf{u}\| é a norma (comprimento) de \mathbf{u}, dada por \|\mathbf{u}\|=\sqrt{\sum u_i^2};
  • \cos\theta é então \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
    Na prática, calculamos \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}, \|\mathbf{u}\|, \|\mathbf{v}\|, depois tiramos \theta=\operatorname{arccos}(\cdot).

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}. Multiplicamos coordenada a coordenada e somamos:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 2\cdot(-1) + (-3)\cdot 3 + (-4)\cdot 1 + 4\cdot 0.
Agora faço conta passo a passo:
2\cdot(-1) = -2,
(-3)\cdot 3 = -9,
(-4)\cdot 1 = -4,
4\cdot 0 = 0.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = -2 + (-9) + (-4) + 0 = -15.

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\|.
Para \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{2^{2} + (-3)^{2} + (-4)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 16 + 16} = \sqrt{45}.
Observação simpática: \sqrt{45} = \sqrt{9\cdot 5} = 3\sqrt{5}.
Para \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-1)^{2} + 3^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{1 + 9 + 1 + 0} = \sqrt{11}.

Passo 5

Aplicar a fórmula para \cos\theta:
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|} = \frac{-15}{\sqrt{45}\,\sqrt{11}}.
Simplifico a expressão: \sqrt{45}\,\sqrt{11} = \sqrt{495} = \sqrt{9\cdot 55} = 3\sqrt{55}. Assim
\cos\theta = \frac{-15}{3\sqrt{55}} = \frac{-5}{\sqrt{55}}.
Racionalizando, se preferir:
\cos\theta = -\frac{\sqrt{55}}{11}.
Isso é uma forma exata e linda do cosseno.

Passo 6

Agora precisamos saber em que intervalo de ângulos o valor de \theta=\operatorname{arccos}\!\big(-\tfrac{\sqrt{55}}{11}\big) cai. Primeiro, note que \cos\theta é negativo, então \theta está em (\tfrac{\pi}{2},\pi]. Para localizar melhor, obtenho uma aproximação numérica para comparar com os limites das alternativas.
Calculo numérico aproximado:
\cos\theta \approx -\frac{\sqrt{55}}{11} \approx -0,6742.
Então
\theta \approx \operatorname{arccos}(-0,6742) \approx 2,312\\ \text{radianos} \quad(\approx 132{,}5^\circ).
Compare com os limites das alternativas (em radianos e graus úteis):
\frac{2\pi}{3}\approx 2{,}094\\ \text{rad}\\ (120^\circ),\qquad \frac{3\pi}{4}\approx 2{,}356\\ \text{rad}\\ (135^\circ).
Vemos que
2{,}094 < 2{,}312 < 2{,}356,
ou seja,
\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{4}.
A alternativa que corresponde a esse intervalo é a (F), que diz \tfrac{2\pi}{3}<\theta\leqslant\tfrac{3\pi}{4}. Nosso \theta está dentro dessa faixa (e, mesmo se a desigualdade superior fosse estrita, \theta ainda estaria dentro).

Resposta

(F)

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