Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e (
) em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede o ângulo
entre os vetores
e
em
, e apresenta alternativas de intervalos para
.
Informações dadas: os dois vetores são
Informações dadas: os dois vetores são
A tarefa é calcular
e identificar em qual das faixas oferecidas (A)–(H) ele se encontra.
Passo 2
Conceito importante (aulas rápidas e objetivas): o ângulo
entre dois vetores
e
em
é obtido pela fórmula do produto escalar:
Aqui:
-
é o produto escalar (soma dos produtos das coordenadas correspondentes); -
é a norma (comprimento) de , dada por ; -
é então .
Na prática, calculamos, , , depois tiramos .
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Multiplicamos coordenada a coordenada e somamos:
Agora faço conta passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para
:
Observação simpática:
.
Para
:
Passo 5
Aplicar a fórmula para
:
Simplifico a expressão:
. Assim
Racionalizando, se preferir:
Isso é uma forma exata e linda do cosseno.
Passo 6
Agora precisamos saber em que intervalo de ângulos o valor de
cai. Primeiro, note que
é negativo, então
está em
. Para localizar melhor, obtenho uma aproximação numérica para comparar com os limites das alternativas.
Calculo numérico aproximado:
Então
Compare com os limites das alternativas (em radianos e graus úteis):
Vemos que
ou seja,
A alternativa que corresponde a esse intervalo é a (F), que diz
. Nosso
está dentro dessa faixa (e, mesmo se a desigualdade superior fosse estrita,
ainda estaria dentro).
Resposta
(F)