Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x-y+2 z, 2 x+y-6 z, 2 x+3 y-3 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{33} vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x-y+2z,\;2x+y-6z,\;2x+3y-3z).
Pede-se calcular B, a matriz que representa a inversa de T, e especificamente nos interessa o elemento b_{33} dessa matriz.
Informações importantes extraídas do enunciado:
A ação de T sobre um vetor (x,y,z) está expressa componente a componente.
A matriz B procurada satisfaz B = A^{-1}, onde A é a matriz de T na base canônica.
A pergunta final: qual é o valor de b_{33} (há opções de -2,-1,0,1,2,3,4,5).
Passo 2
Construir a matriz A que representa T na base canônica. Lembrando: a matriz de uma transformação linear T tem colunas iguais a T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1).
Conclusão: \det(A)=-1\neq0, logo A é invertível; e a fórmula do inverso vale. Note que o fato de \det(A)=-1 simplifica: A^{-1}=-\operatorname{adj}(A).]
Passo 5
Calcular o cofator C_{33}. Por definição C_{33}=(-1)^{3+3}\det(M_{33})=\det(M_{33}), onde M_{33} é o menor obtido ao eliminar a linha 3 e a coluna 3 de A. Esse menor é