Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (-x-y+2 z, 2 x+y-6 z, 2 x+3 y-3 z).
Calcule B, a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{33} vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(-x-y+2z,\;2x+y-6z,\;2x+3y-3z).
Pede-se calcular B, a matriz que representa a inversa de T, e especificamente nos interessa o elemento b_{33} dessa matriz.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A ação de T sobre um vetor (x,y,z) está expressa componente a componente.
  • A matriz B procurada satisfaz B = A^{-1}, onde A é a matriz de T na base canônica.
  • A pergunta final: qual é o valor de b_{33} (há opções de -2,-1,0,1,2,3,4,5).

Passo 2

Construir a matriz A que representa T na base canônica. Lembrando: a matriz de uma transformação linear T tem colunas iguais a T(e_1),T(e_2),T(e_3), onde e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1).
Calcular as imagens dos vetores da base:
T(e_1)=T(1,0,0)=(-1,2,2), \qquad T(e_2)=T(0,1,0)=(-1,1,3), \qquad T(e_3)=T(0,0,1)=(2,-6,-3).
Portanto a matriz A é
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -6\\[4pt] 2 & 3 & -3 \end{pmatrix},
e queremos B=A^{-1}. O elemento b_{33} é a entrada da linha 3 coluna 3 de A^{-1}.]

Passo 3

Explicar a fórmula que vamos usar: para uma matriz invertível A de ordem 3,
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (a transposta da matriz dos cofatores). Em componentes vale
(A^{-1})_{ij}=\dfrac{1}{\det(A)}\,C_{ji},
onde C_{ji} é o cofator de A correspondente à entrada na linha j, coluna i.
Assim, para o elemento diagonal desejado obtemos
b_{33}=(A^{-1})_{33}=\dfrac{1}{\det(A)}\,C_{33}.
Logo precisamos de \det(A) e do cofator C_{33}. Vou calcular \det(A) primeiro para verificar que A é invertível.

Passo 4

Calcular o determinante \det(A). Usando a primeira linha para expansão:
\det(A)=(-1)\det\begin{pmatrix}1 & -6\\[2pt]3 & -3\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}2 & -6\\[2pt]2 & -3\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]2 & 3\end{pmatrix}.
Agora calcular cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & -6\\[2pt]3 & -3\end{pmatrix}=1\cdot(-3)-(-6)\cdot3=-3+18=15,
\det\begin{pmatrix}2 & -6\\[2pt]2 & -3\end{pmatrix}=2\cdot(-3)-(-6)\cdot2=-6+12=6,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]2 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot2=6-2=4.
Substituindo:
\det(A)=(-1)\cdot15 -(-1)\cdot6 + 2\cdot4 = -15 +6 +8 = -1.
Conclusão: \det(A)=-1\neq0, logo A é invertível; e a fórmula do inverso vale. Note que o fato de \det(A)=-1 simplifica: A^{-1}=-\operatorname{adj}(A).]

Passo 5

Calcular o cofator C_{33}. Por definição C_{33}=(-1)^{3+3}\det(M_{33})=\det(M_{33}), onde M_{33} é o menor obtido ao eliminar a linha 3 e a coluna 3 de A. Esse menor é
M_{33}=\begin{pmatrix}-1 & -1\\[2pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Calcular seu determinante:
\det(M_{33})=(-1)\cdot1 - (-1)\cdot2 = -1 +2 = 1.
Portanto
C_{33}=1.]

Passo 6

Agora usar a relação encontrada no Passo 3:
b_{33}=(A^{-1})_{33}=\dfrac{1}{\det(A)}\,C_{33}=\dfrac{1}{-1}\cdot 1 = -1.
Ou, equivalentemente, como \det(A)=-1, A^{-1}=-\operatorname{adj}(A) e o cofactor de posição (3,3) vale 1, então b_{33}=-1.

Resposta

(B) -1

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