Q9: Seja
uma matriz
e sejam
vetores não-nulos tais que
e
. Assinale a afirmação FALSA:
(A) Se
é um conjunto linearmente dependente, pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores de
.
(B) Se
é uma base e
é um conjunto linearmente dependente, pode-se afirmar que
não tem solução para alguns valores de
.
(C) Se
é uma base, pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(D) Se
é um conjunto linearmente dependente, não se pode afirmar se
tem ou não solução para qualquer
.
(A) Se
(B) Se
(C) Se
(D) Se
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de dimensão
e vetores não-nulos
tais que
Pede-se identificar a afirmação FALSA entre as alternativas (A), (B), (C) e (D).
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
Objetivo: determinar qual alternativa é falsa.
Passo 2
Vamos lembrar conceitos fundamentais (devagar e com exemplos pequenos) que usaremos nas análises:
- Linearmente dependente: um conjunto
é linearmente dependente se existem escalares , nem ambos nulos, tais que . Em isso significa que um vetor é múltiplo do outro (então os dois não geram todo ). - Base de
: um conjunto é base se é linearmente independente e gera . Ou seja, qualquer vetor escreve-se de forma única como combinação . - Imagem (ou espaço coluna) de
: . Se então a equação tem solução para todo . Se existem que não são imagens de nenhum . - Observação importante: o fato de
e estarem na imagem apenas nos diz que contém esses dois vetores, mas não diz que é exatamente , a menos que saibamos algo sobre (ver mais abaixo). - Se
é uma base, então qualquer se escreve como combinação linear de . Assim, para todo temos
portanto
nesse caso.
Passo 3
Analisando a alternativa (A):
(A) Diz: “Se é linearmente dependente, pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores de
.”
Raciocínio: ter linearmente dependente apenas nos diz que esses dois vetores estão alinhados (ou um é múltiplo do outro). Mas isso não força
a ter dimensão
; a imagem de
pode muito bem ser todo
se outros vetores do domínio são enviados para vetores independentes. Ou seja, é possível ter
dependente e, ainda assim,
ser invertível (imagem =
). Exemplo concreto para ver que (A) é falsa:
Escolha
(A) Diz: “Se
Raciocínio: ter
Escolha
Então
logo
é linearmente dependente (são iguais). Mas
é invertível, portanto para qualquer
a equação
tem solução única (no caso
). Assim não é verdade que automaticamente existem valores de
sem solução. Conclusão: a afirmação (A) é falsa.]
Passo 4
Analisando a alternativa (B):
(B) Diz: “Se é uma base e
é linearmente dependente, pode-se afirmar que
não tem solução para alguns valores de
.”
Raciocínio: quando é base, qualquer vetor
se escreve como
. Aplicando
obtemos
. Assim a imagem de
é exatamente
. Se
é linearmente dependente então
tem dimensão
, logo
tem dimensão
e não é todo
. Portanto existem vetores
que não pertencem à
e, assim, para esses
a equação
não tem solução. Conclusão: (B) é verdadeira.
(B) Diz: “Se
Raciocínio: quando
Passo 5
Analisando a alternativa (C):
(C) Diz: “Se é uma base, pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.”
Raciocínio: se é base de
, então
são linearmente independentes e pertencem à
. Assim
contém dois vetores independentes em
, logo
e
. Assim
é sobrejetora; para transformações lineares entre espaços de mesma dimensão, sobrejetividade implica injetividade (por teorema do posto-nulidade:
; se
então
). Logo
é invertível e, para qualquer
, existe exatamente uma solução
. Conclusão: (C) é verdadeira.
(C) Diz: “Se
Raciocínio: se
Passo 6
Analisando a alternativa (D):
(D) Diz: “Se é um conjunto linearmente dependente, não se pode afirmar se
tem ou não solução para qualquer
.”
Raciocínio: isso quer dizer que, apenas sabendo que é dependente, não conseguimos decidir em geral se
é sobrejetora ou não — depende de
. Exemplos que mostram a ambiguidade:
(D) Diz: “Se
Raciocínio: isso quer dizer que, apenas sabendo que
- Caso em que todas as
têm solução: escolha e . Aqui é dependente, mas é invertível e tem solução única para todo . - Caso em que nem todas as
têm solução: escolha ser a projeção na primeira coordenada, por exemplo
e tome
. Então
é a reta gerada por
e vetores com segunda coordenada não podem ser alcançados por
. Assim nem todas as
têm solução.
Portanto, apenas saber que é dependente não permite afirmar de modo geral se
é solucionável para todo
ou não. Conclusão: (D) é verdadeira.]
Portanto, apenas saber que
Passo 7
Resumo das conclusões:
- (A) é falsa (contraexemplo com
e mostra que pode ser dependente e mesmo assim ter solução para todo ). - (B) é verdadeira.
- (C) é verdadeira.
- (D) é verdadeira.
Resposta
(A)