Q9: Seja A uma matriz 2 \times 2 e sejam \vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2} \in \mathbb{R}^{2} vetores não-nulos tais que A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1} e A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2}. Assinale a afirmação FALSA:
(A) Se \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} é um conjunto linearmente dependente, pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores de \vec{b}.
(B) Se \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}\right\} é uma base e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} é um conjunto linearmente dependente, pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para alguns valores de \vec{b}.
(C) Se \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}\right\} é uma base, pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(D) Se \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}\right\} é um conjunto linearmente dependente, não se pode afirmar se A \vec{x}=\vec{b} tem ou não solução para qualquer \vec{b}.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de dimensão 2\times2 e vetores não-nulos \vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{b}_{1},\vec{b}_{2}\in\mathbb{R}^{2} tais que
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}\quad\text{e}\quad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2}.
Pede-se identificar a afirmação FALSA entre as alternativas (A), (B), (C) e (D).
Informações relevantes do enunciado:
\text{dados: }A\in\mathbb{R}^{2\times2},\;\vec{x}_1,\vec{x}_2,\vec{b}_1,\vec{b}_2\neq\vec{0},\;A\vec{x}_1=\vec{b}_1,\;A\vec{x}_2=\vec{b}_2.
Objetivo: determinar qual alternativa é falsa.

Passo 2

Vamos lembrar conceitos fundamentais (devagar e com exemplos pequenos) que usaremos nas análises:
  • Linearmente dependente: um conjunto \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é linearmente dependente se existem escalares c_1,c_2, nem ambos nulos, tais que c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2=\vec{0}. Em \mathbb{R}^2 isso significa que um vetor é múltiplo do outro (então os dois não geram todo \mathbb{R}^2).
  • Base de \mathbb{R}^2: um conjunto \{\vec{u}_1,\vec{u}_2\} é base se é linearmente independente e gera \mathbb{R}^2. Ou seja, qualquer vetor \vec{v}\in\mathbb{R}^2 escreve-se de forma única como combinação \vec{v}=a\vec{u}_1+b\vec{u}_2.
  • Imagem (ou espaço coluna) de A: \operatorname{Im}(A)=\{A\vec{x}:\vec{x}\in\mathbb{R}^2\}. Se \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^2 então a equação A\vec{x}=\vec{b} tem solução para todo \vec{b}. Se \dim\operatorname{Im}(A)=1 existem \vec{b} que não são imagens de nenhum \vec{x}.
  • Observação importante: o fato de \vec{b}_1 e \vec{b}_2 estarem na imagem apenas nos diz que \operatorname{Im}(A) contém esses dois vetores, mas não diz que \operatorname{Im}(A) é exatamente \operatorname{span}\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\}, a menos que saibamos algo sobre \vec{x}_1,\vec{x}_2 (ver mais abaixo).
  • Se \{\vec{x}_1,\vec{x}_2\} é uma base, então qualquer \vec{x} se escreve como combinação linear de \vec{x}_1,\vec{x}_2. Assim, para todo \vec{x} temos
\vec{x}=\alpha\vec{x}_1+\beta\vec{x}_2\quad\Rightarrow\quad A\vec{x}=\alpha\vec{b}_1+\beta\vec{b}_2,
portanto \operatorname{Im}(A)=\operatorname{span}\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} nesse caso.

Passo 3

Analisando a alternativa (A):
(A) Diz: “Se \{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} é linearmente dependente, pode-se afirmar que A\vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores de \vec{b}.”
Raciocínio: ter \{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} linearmente dependente apenas nos diz que esses dois vetores estão alinhados (ou um é múltiplo do outro). Mas isso não força \operatorname{Im}(A) a ter dimensão 1; a imagem de A pode muito bem ser todo \mathbb{R}^2 se outros vetores do domínio são enviados para vetores independentes. Ou seja, é possível ter \{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} dependente e, ainda assim, A ser invertível (imagem = \mathbb{R}^2). Exemplo concreto para ver que (A) é falsa:
Escolha
A = I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\quad \vec{x}_1=\vec{x}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Então
\vec{b}_1=A\vec{x}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\end{pmatrix},\qquad \vec{b}_2=A\vec{x}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\end{pmatrix},
logo \{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} é linearmente dependente (são iguais). Mas A=I_2 é invertível, portanto para qualquer \vec{b}\in\mathbb{R}^2 a equação A\vec{x}=\vec{b} tem solução única (no caso \vec{x}=A^{-1}\vec{b}=\vec{b}). Assim não é verdade que automaticamente existem valores de \vec{b} sem solução. Conclusão: a afirmação (A) é falsa.]

Passo 4

Analisando a alternativa (B):
(B) Diz: “Se \{\vec{x}_1,\vec{x}_2\} é uma base e \{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} é linearmente dependente, pode-se afirmar que A\vec{x}=\vec{b} não tem solução para alguns valores de \vec{b}.”
Raciocínio: quando \{\vec{x}_1,\vec{x}_2\} é base, qualquer vetor \vec{x} se escreve como \alpha\vec{x}_1+\beta\vec{x}_2. Aplicando A obtemos A\vec{x}=\alpha\vec{b}_1+\beta\vec{b}_2. Assim a imagem de A é exatamente \operatorname{span}\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\}. Se \{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} é linearmente dependente então \operatorname{span}\{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} tem dimensão 1, logo \operatorname{Im}(A) tem dimensão 1 e não é todo \mathbb{R}^2. Portanto existem vetores \vec{b} que não pertencem à \operatorname{Im}(A) e, assim, para esses \vec{b} a equação A\vec{x}=\vec{b} não tem solução. Conclusão: (B) é verdadeira.

Passo 5

Analisando a alternativa (C):
(C) Diz: “Se \{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} é uma base, pode-se afirmar que A\vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.”
Raciocínio: se \{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} é base de \mathbb{R}^2, então \vec{b}_1,\vec{b}_2 são linearmente independentes e pertencem à \operatorname{Im}(A). Assim \operatorname{Im}(A) contém dois vetores independentes em \mathbb{R}^2, logo \dim\operatorname{Im}(A)=2 e \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^2. Assim A é sobrejetora; para transformações lineares entre espaços de mesma dimensão, sobrejetividade implica injetividade (por teorema do posto-nulidade: \dim\ker A + \dim\operatorname{Im}A = 2; se \dim\operatorname{Im}A=2 então \dim\ker A=0). Logo A é invertível e, para qualquer \vec{b}, existe exatamente uma solução \vec{x}=A^{-1}\vec{b}. Conclusão: (C) é verdadeira.

Passo 6

Analisando a alternativa (D):
(D) Diz: “Se \{\vec{x}_1,\vec{x}_2\} é um conjunto linearmente dependente, não se pode afirmar se A\vec{x}=\vec{b} tem ou não solução para qualquer \vec{b}.”
Raciocínio: isso quer dizer que, apenas sabendo que \{\vec{x}_1,\vec{x}_2\} é dependente, não conseguimos decidir em geral se A é sobrejetora ou não — depende de A. Exemplos que mostram a ambiguidade:
  • Caso em que todas as \vec{b} têm solução: escolha A=I_2 e \vec{x}_1=\vec{x}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Aqui \{\vec{x}_1,\vec{x}_2\} é dependente, mas A é invertível e A\vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b}.
  • Caso em que nem todas as \vec{b} têm solução: escolha A ser a projeção na primeira coordenada, por exemplo
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
e tome \vec{x}_1=\vec{x}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Então \operatorname{Im}(A) é a reta gerada por \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e vetores com segunda coordenada não podem ser alcançados por A. Assim nem todas as \vec{b} têm solução.
Portanto, apenas saber que \{\vec{x}_1,\vec{x}_2\} é dependente não permite afirmar de modo geral se A\vec{x}=\vec{b} é solucionável para todo \vec{b} ou não. Conclusão: (D) é verdadeira.]

Passo 7

Resumo das conclusões:
  • (A) é falsa (contraexemplo com A=I_2 e \vec{x}_1=\vec{x}_2 mostra que \{\vec{b}_1,\vec{b}_2\} pode ser dependente e mesmo assim A\vec{x}=\vec{b} ter solução para todo \vec{b}).
  • (B) é verdadeira.
  • (C) é verdadeira.
  • (D) é verdadeira.

Resposta

(A)

Exercícios relacionados