Q11: São dadas abaixo as inversas das matrizes A e B :
A^{-1}=\left[\begin{array}{rr} -2 & 1 \\\\ 2 & -2 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B^{-1}=\left[\begin{array}{rr} -2 & -1 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right]
Determine M tal que M B A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right].
Assinale o valor da entrada m_{11}.
(A) 2
(B) 3
(C) 6
(D) 5

Passo 1

O enunciado dá as matrizes inversas
A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & -1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}
e pede: determinar M tal que
M B A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
ou seja, M B A = I. A pergunta final é: qual o valor da entrada m_{11} da matriz M? As opções são (A) 2, (B) 3, (C) 6, (D) 5.]

Passo 2

Vamos manipular a equação M B A = I. Multiplicando à direita pela inversa de A (que existe, pois foi dada) obtemos
M B = I \cdot A^{-1} = A^{-1}.
Agora multiplicamos à direita pela inversa de B (também existe), obtendo
M = A^{-1} B^{-1}.
Explicação didática do porquê: se queremos uma matriz M tal que M(BA)=I, então M é a inversa de BA. E a regra de inverso de produto diz
(BA)^{-1} = A^{-1} B^{-1},
porque (BA)(A^{-1}B^{-1}) = B(AA^{-1})B^{-1} = B I B^{-1} = I. Assim M = A^{-1}B^{-1}.

Passo 3

Agora vamos calcular M = A^{-1}B^{-1} aplicando a definição de multiplicação de matrizes: se
A^{-1}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}, \qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então a entrada m_{ij} de M é
m_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j}.
Vamos aplicar isso usando os valores numéricos fornecidos.]

Passo 4

Usando A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix} e B^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & -1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}, calculamos cada entrada de M=A^{-1}B^{-1}:
Cálculo de m_{11}:
m_{11}=(-2)\cdot(-2) + 1\cdot 1 = 4 + 1 = 5.
Cálculo de m_{12}:
m_{12}=(-2)\cdot(-1) + 1\cdot(-1) = 2 - 1 = 1.
Cálculo de m_{21}:
m_{21}=2\cdot(-2) + (-2)\cdot 1 = -4 - 2 = -6.
Cálculo de m_{22}:
m_{22}=2\cdot(-1) + (-2)\cdot(-1) = -2 + 2 = 0.
Portanto
M = \begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt] -6 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

A entrada pedida é m_{11}. Pelo cálculo acima temos m_{11}=5. Isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) 5

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