Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-1)=(0,-1,1) \mathrm{e} T(1,-2)=(2,-1,0).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A soma de todos os elementos da 1{ }^{\text {a }} coluna de A vale:
(a) -2
(b) -1
(c) 0
(d) 1
Passo 1
O enunciado pede para determinar a matriz A associada à transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} tal que
Em seguida, pergunta especificamente: qual é a soma de todos os elementos da 1^{\text{a}} coluna de A? As informações relevantes dadas são exatamente os dois valores T(1,-1) e T(1,-2).
Passo 2
Vamos representar a matriz A desconhecida como uma matriz 3\times2 cujas colunas são os vetores T(1,0) e T(0,1). Escrevo
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \\\ e & f \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é \begin{pmatrix}a\c\e\end{pmatrix}=T(1,0) e a segunda coluna é \begin{pmatrix}b\d\f\end{pmatrix}=T(0,1). Cada letra a,b,c,d,e,f é uma entrada real que precisamos determinar.
Passo 3
Usamos a propriedade da multiplicação matriz-vetor: para qualquer (x,y),