Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-1)=(0,-1,1) \mathrm{e} T(1,-2)=(2,-1,0).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A soma de todos os elementos da 1{ }^{\text {a }} coluna de A vale:
(a) -2
(b) -1
(c) 0
(d) 1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz A associada à transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} tal que
T(1,-1)=(0,-1,1)\quad\text{e}\quad T(1,-2)=(2,-1,0).
Em seguida, pergunta especificamente: qual é a soma de todos os elementos da 1^{\text{a}} coluna de A? As informações relevantes dadas são exatamente os dois valores T(1,-1) e T(1,-2).

Passo 2

Vamos representar a matriz A desconhecida como uma matriz 3\times2 cujas colunas são os vetores T(1,0) e T(0,1). Escrevo
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \\\ e & f \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é \begin{pmatrix}a\c\e\end{pmatrix}=T(1,0) e a segunda coluna é \begin{pmatrix}b\d\f\end{pmatrix}=T(0,1). Cada letra a,b,c,d,e,f é uma entrada real que precisamos determinar.

Passo 3

Usamos a propriedade da multiplicação matriz-vetor: para qualquer (x,y),
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}a\c\e\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}b\d\f\end{pmatrix}.
Aplicando isso aos vetores dados:
T(1,-1)=\begin{pmatrix}a\c\e\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}b\d\f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a-b\c-d\e-f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},
T(1,-2)=\begin{pmatrix}a\c\e\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}b\d\f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a-2b\c-2d\e-2f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

A partir das igualdades do passo anterior obtemos dois sistemas de equações coordenada a coordenada. Igualando coordenadas temos:
primeiro vetor:
\begin{cases} a-b = 0,\\[4pt] c-d = -1,\\[4pt] e-f = 1, \end{cases}
segundo vetor:
\begin{cases} a-2b = 2,\\[4pt] c-2d = -1,\\[4pt] e-2f = 0. \end{cases}]

Passo 5

Subtraio a primeira linha de cada par da segunda para eliminar a,c,e e achar b,d,f:
(a-2b)-(a-b) = -b = 2-0 = 2 \quad\Rightarrow\quad -b=2 \\ \Rightarrow\\ b=-2.
(c-2d)-(c-d) = -d = -1-(-1)=0 \quad\Rightarrow\quad -d=0 \\ \Rightarrow\\ d=0.
(e-2f)-(e-f) = -f = 0-1 = -1 \quad\Rightarrow\quad -f=-1 \\ \Rightarrow\\ f=1.

Passo 6

Com b,d,f conhecidos, volto às equações do passo 4 para achar a,c,e:
a-b=0 \Rightarrow a = b = -2.
c-d=-1 \Rightarrow c = -1 + d = -1 + 0 = -1.
e-f=1 \Rightarrow e = 1 + f = 1 + 1 = 2.

Passo 7

Agora conheço todas as entradas; escrevo a matriz A:
A=\begin{pmatrix} -2 & -2 \\\\ -1 & 0 \\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}.
A primeira coluna é \begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}. A soma de todos os elementos da primeira coluna é
-2 + (-1) + 2 = -1.

Resposta

(b)

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