1,0
a)
Defina o que é uma equação linear e descreva seu método de resolução.
b)
Usando o método explicado anteriormente, encontre uma solução explícita para equação diferencial:
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Definir o que é uma equação linear e descrever o método de resolução (valor:
). - (b) Usar o método explicado em (a) para encontrar uma solução explícita da equação diferencial
(valor:
).
Informações dadas:
- A equação diferencial é de primeira ordem e está escrita na forma explícita
. - Não foram dadas condições iniciais; portanto esperamos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
O que é uma equação linear (de primeira ordem) — definição didática e elementos:
- Uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear quando pode ser escrita na forma
onde
e
são funções conhecidas de
.
- Aqui:
-
é a incógnita (função a encontrar). -
é a derivada de em relação a . -
é chamado coeficiente da parte linear em . -
é o termo independente (fonte).
-
Por que essa forma é “linear”? Porque aparecem apenas
e sua derivada em potência
(não há
,
, etc.). Linearidade significa que, se
e
forem soluções do problema homogêneo associado, combinações lineares também o são — essa propriedade facilita a resolução.
Passo 3
Descrição do método de resolução (método do fator integrante), passo a passo e com intuição:
- Objetivo: transformar a equação em uma forma que seja a derivada de um produto, algo como
, porque daí basta integrar. - Começa-se pela forma padrão
- Define-se o fator integrante
Intuição: multiplicando a equação por
obtém-se
Mas o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
já que
(essa igualdade vem da definição de
). Então a equação vira
- Integra-se:
. - Finalmente isola-se
:
- Observações práticas: escolha correta de
e cuidado com constantes de integração; quando é constante o fator integrante é uma exponencial simples.
Passo 4
Aplicando o método à equação dada: reescrever na forma padrão e identificar
e
.
- A equação original é
- Colocando tudo no lado esquerdo para obter a forma padrão:
- Assim identificamos
Passo 5
Calcular o fator integrante
.
- Pela fórmula
Passo 6
Multiplicar a equação por
e reconhecer a derivada do produto.
- Multiplicando
por obtém-se
- O lado esquerdo é
, pois, como mostrado antes, . Portanto:
Passo 7
Integrar ambos os lados para obter
.
- Integra-se em relação a
:
- Vamos calcular a integral
passo a passo. Separemos em duas integrais:
Passo 8
Calcular
por partes (detalhando cada escolha).
- Use integração por partes: escolha
e . Então e
- Aplicando a fórmula
:
- Simplificando:
- E já sabemos
. Portanto
Passo 9
Voltar à integral original e somar as partes.
- Agora:
- E
- Somando:
- Combine os termos em
:
logo
Passo 10
Isolar
e simplificar a solução geral.
- Temos
- Multiplicando por
para isolar :
- Podemos reescrever a constante
por qualquer letra; é a constante arbitrária da solução geral. Então a solução geral é
Passo 11
Verificação rápida (para dar segurança na hora da prova):
- Diferenciando
:
- Calculando
:
- E
. Logo
confirmando que a solução está correta.
Passo 12
Dica final para a prova (curta e prática):
- Sempre coloque a equação na forma
. - Calcule
com cuidado (se for constante, fica rápido). - Multiplique, reconheça
, integre, e isole .
Você consegue — pratique esse procedimento 2–3 vezes com funçõesdiferentes e ele vira automático.
Resposta
(a) Uma equação diferencial de primeira ordem é linear quando pode ser escrita como
, com
e
dados. O método de resolução padrão é o fator integrante: calcular
, multiplicar a equação por
, obter
, integrar e isolar
, resultando em
.
(b)
, com
.