1,0
a) (1,0) Defina o que é uma equação linear e descreva seu método de resolução.
b) (1,5) Usando o método explicado anteriormente, encontre uma solução explícita para equação diferencial:
y^{\prime}=4 y+7 x+9

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Definir o que é uma equação linear e descrever o método de resolução (valor: 1,0).
  • (b) Usar o método explicado em (a) para encontrar uma solução explícita da equação diferencial
y^{\prime}=4 y+7 x+9
(valor: 1,5).
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e está escrita na forma explícita y^{\prime}=4y+7x+9.
  • Não foram dadas condições iniciais; portanto esperamos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

O que é uma equação linear (de primeira ordem) — definição didática e elementos:
  • Uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear quando pode ser escrita na forma
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x.
  • Aqui:
    • y=y(x) é a incógnita (função a encontrar).
    • y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x.
    • p(x) é chamado coeficiente da parte linear em y.
    • q(x) é o termo independente (fonte).
Por que essa forma é “linear”? Porque aparecem apenas y e sua derivada em potência 1 (não há y^2, \sin y, etc.). Linearidade significa que, se y_1 e y_2 forem soluções do problema homogêneo associado, combinações lineares também o são — essa propriedade facilita a resolução.

Passo 3

Descrição do método de resolução (método do fator integrante), passo a passo e com intuição:
  • Objetivo: transformar a equação em uma forma que seja a derivada de um produto, algo como (\mu(x)\,y)^{\prime}=\text{alguma coisa}, porque daí basta integrar.
  • Começa-se pela forma padrão
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x).
  • Define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Intuição: multiplicando a equação por \mu(x) obtém-se
\mu y^{\prime}+\mu p y = \mu q.
Mas o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu y, pois
(\mu y)^{\prime}=\mu^{\prime}y+\mu y^{\prime} = \mu p y +\mu y^{\prime}
já que \mu^{\prime}=\mu p (essa igualdade vem da definição de \mu). Então a equação vira
(\mu y)^{\prime}=\mu q.
  • Integra-se: \mu y=\displaystyle\int \mu q\,dx + C.
  • Finalmente isola-se y:
y=\dfrac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)\,q(x)\,dx + C\right).
  • Observações práticas: escolha correta de p(x) e cuidado com constantes de integração; quando p é constante o fator integrante é uma exponencial simples.

Passo 4

Aplicando o método à equação dada: reescrever na forma padrão e identificar p e q.
  • A equação original é
y^{\prime}=4y+7x+9.
  • Colocando tudo no lado esquerdo para obter a forma padrão:
y^{\prime}-4y=7x+9.
  • Assim identificamos
p(x)=-4,\qquad q(x)=7x+9.

Passo 5

Calcular o fator integrante \mu(x).
  • Pela fórmula
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -4\,dx\right)=\exp(-4x)=e^{-4x}.

Passo 6

Multiplicar a equação por \mu(x) e reconhecer a derivada do produto.
  • Multiplicando y^{\prime}-4y=7x+9 por e^{-4x} obtém-se
e^{-4x}y^{\prime}-4e^{-4x}y = e^{-4x}(7x+9).
  • O lado esquerdo é (e^{-4x}y)^{\prime}, pois, como mostrado antes, (e^{-4x})^{\prime}=-4e^{-4x}. Portanto:
\bigl(e^{-4x}y\bigr)^{\prime}=e^{-4x}(7x+9).

Passo 7

Integrar ambos os lados para obter e^{-4x}y.
  • Integra-se em relação a x:
e^{-4x}y=\int e^{-4x}(7x+9)\,dx + C.
  • Vamos calcular a integral \displaystyle\int e^{-4x}(7x+9)\,dx passo a passo. Separemos em duas integrais:
\int e^{-4x}(7x+9)\,dx = 7\int x e^{-4x}\,dx + 9\int e^{-4x}\,dx.

Passo 8

Calcular \displaystyle\int x e^{-4x}\,dx por partes (detalhando cada escolha).
  • Use integração por partes: escolha u=x e dv=e^{-4x}\,dx. Então du=dx e
v=\int e^{-4x}\,dx = -\tfrac{1}{4}e^{-4x}.
  • Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x e^{-4x}\,dx = x\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\Bigr) - \int \Bigl(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\Bigr)\,dx.
  • Simplificando:
\int x e^{-4x}\,dx = -\tfrac{1}{4}x e^{-4x} + \tfrac{1}{4}\int e^{-4x}\,dx.
  • E já sabemos \int e^{-4x}\,dx = -\tfrac{1}{4}e^{-4x}. Portanto
\int x e^{-4x}\,dx = -\tfrac{1}{4}x e^{-4x} + \tfrac{1}{4}\Bigl(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\Bigr) = -\tfrac{1}{4}x e^{-4x} -\tfrac{1}{16}e^{-4x}.

Passo 9

Voltar à integral original e somar as partes.
  • Agora:
7\int x e^{-4x}\,dx = 7\Bigl(-\tfrac{1}{4}x e^{-4x} -\tfrac{1}{16}e^{-4x}\Bigr) = -\tfrac{7}{4}x e^{-4x} -\tfrac{7}{16}e^{-4x}.
  • E
9\int e^{-4x}\,dx = 9\Bigl(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\Bigr) = -\tfrac{9}{4}e^{-4x}.
  • Somando:
\int e^{-4x}(7x+9)\,dx = -\tfrac{7}{4}x e^{-4x} -\tfrac{7}{16}e^{-4x} -\tfrac{9}{4}e^{-4x}.
  • Combine os termos em e^{-4x}:
-\tfrac{7}{16} - \tfrac{9}{4} = -\tfrac{7}{16} - \tfrac{36}{16} = -\tfrac{43}{16},
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\int e^{-4x}(7x+9)\,dx = -\tfrac{7}{4}x e^{-4x} -\tfrac{43}{16}e^{-4x}.

Passo 10

Isolar y e simplificar a solução geral.
  • Temos
e^{-4x}y = -\tfrac{7}{4}x e^{-4x} -\tfrac{43}{16}e^{-4x} + C.
  • Multiplicando por e^{4x} para isolar y:
y = -\tfrac{7}{4}x -\tfrac{43}{16} + C e^{4x}.
  • Podemos reescrever a constante C por qualquer letra; é a constante arbitrária da solução geral. Então a solução geral é
y(x)=C e^{4x} -\tfrac{7}{4}x -\tfrac{43}{16},\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 11

Verificação rápida (para dar segurança na hora da prova):
  • Diferenciando y(x):
y^{\prime}=4C e^{4x} -\tfrac{7}{4}.
  • Calculando 4y+7x+9:
4y+7x+9 = 4\bigl(C e^{4x} -\tfrac{7}{4}x -\tfrac{43}{16}\bigr) +7x+9 =4C e^{4x} -7x -\tfrac{43}{4}+7x+9 =4C e^{4x} -\tfrac{43}{4}+9.
  • E -\tfrac{43}{4}+9 = -\tfrac{43}{4}+\tfrac{36}{4}=-\tfrac{7}{4}. Logo
4y+7x+9 = 4C e^{4x} -\tfrac{7}{4} = y^{\prime},
confirmando que a solução está correta.

Passo 12

Dica final para a prova (curta e prática):
  • Sempre coloque a equação na forma y^{\prime}+p(x)y=q(x).
  • Calcule \mu(x)=e^{\int p(x)dx} com cuidado (se p for constante, fica rápido).
  • Multiplique, reconheça (\mu y)^{\prime}, integre, e isole y.
    Você consegue — pratique esse procedimento 2–3 vezes com funções q(x) diferentes e ele vira automático.

Resposta

(a) Uma equação diferencial de primeira ordem é linear quando pode ser escrita como \displaystyle y^{\prime}+p(x)\,y=q(x), com p e q dados. O método de resolução padrão é o fator integrante: calcular \mu(x)=\exp\!\bigl(\int p(x)\,dx\bigr), multiplicar a equação por \mu, obter (\mu y)^{\prime}=\mu q, integrar e isolar y, resultando em \displaystyle y=\frac{1}{\mu(x)}\Bigl(\int \mu(x)q(x)\,dx+C\Bigr).
(b) \displaystyle y(x)=C e^{4x}-\tfrac{7}{4}x-\tfrac{43}{16}, com C\in\mathbb{R}.

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