Dada a equação diferencial
(12 y+6 t-10) d t+(18 y+12 t-2) d y=0
responda os itens abaixo:
a) (0,5) Verifique se a equação é exata.
b) (2,0) Resolva a equação diferencial para a condição inicial y(-1)=2.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial na forma de 1-forma:
(12 y+6 t-10)\,d t+(18 y+12 t-2)\,d y=0.
As perguntas são:
  • (a) Verificar se a equação é exata.
  • (b) Resolver a equação diferencial satisfazendo a condição inicial \,y(-1)=2.
Informações relevantes dadas:
  • A função multiplicando d t é M(t,y)=12 y+6 t-10.
  • A função multiplicando d y é N(t,y)=18 y+12 t-2.
  • Condição inicial: t=-1 e y=2.

Passo 2

O que é uma equação exata (aula rápida, passo a passo):
  • Uma 1-forma M(t,y)\,d t+N(t,y)\,d y é exata em uma região se existe uma função potencial \Phi(t,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=M(t,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(t,y).
  • Uma condição prática (suficiente em regiões simples) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Se isso ocorrer, a equação é exata.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(12 y+6 t-10)=12,
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(18 y+12 t-2)=12.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial t}=12, a condição de exatidão ocorre.

Passo 4

Conclusão do item (a):
  • A equação é exata, porque as derivadas parciais cruzadas são iguais.

Passo 5

Método para resolver uma equação exata (aula prática):
  • Encontrar \Phi(t,y) integrando M(t,y) em relação a t, tratando y como constante, e adicionando uma função h(y) que represente a “constante” de integração que pode depender de y:
\Phi(t,y)=\int M(t,y)\,d t + h(y).
  • Depois impor \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(t,y) para determinar h(y).
  • A solução geral é \Phi(t,y)=C (constante).

Passo 6

Integrar M em relação a t:
\Phi(t,y)=\int(12 y+6 t-10)\,d t =12 y\,t +3 t^{2}-10 t + h(y).
Aqui h(y) é uma função arbitrária de y que aparece porque ao integrar em t tratamos y como constante.

Passo 7

Impor \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N para achar h(y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=12 t + h'(y) \overset{!}{=} 18 y+12 t-2.
Isolando h'(y) obtemos
h'(y)=18 y-2.
Integrando em y:
h(y)=\int(18 y-2)\,d y =9 y^{2}-2 y + C_1,
onde C_1 é uma constante. Podemos incorporá-la depois na constante final da solução implícita.

Passo 8

Construir a função potencial completa \Phi e escrever a solução implícita:
\Phi(t,y)=12 y\,t +3 t^{2}-10 t +9 y^{2}-2 y.
A solução geral implícita é
12 y\,t +3 t^{2}-10 t +9 y^{2}-2 y = K,
onde K é constante.

Passo 9

Aplicar a condição inicial \,y(-1)=2 para determinar K. Substituindo t=-1 e y=2:
12\cdot2\cdot(-1)+3\cdot(-1)^{2}-10\cdot(-1)+9\cdot2^{2}-2\cdot2 = -24+3+10+36-4 =21.
Portanto K=21. A solução implícita particular é
12 y\,t +3 t^{2}-10 t +9 y^{2}-2 y =21.

Passo 10

Se for desejável obter y explicitamente em função de t, reorganize como uma equação quadrática em y:
9 y^{2}+(12 t-2)y + (3 t^{2}-10 t -21)=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) com A=9, B=12 t-2, C=3 t^{2}-10 t -21, o discriminante é
\Delta=(12 t-2)^{2}-4\cdot9\cdot(3 t^{2}-10 t -21)=36 t^{2}+312 t +760.
Escrevendo a raiz de forma simplificada:
\sqrt{\Delta}=2\sqrt{9 t^{2}+78 t +190}.
Logo as soluções são
y(t)=\frac{2-12 t \pm 2\sqrt{9 t^{2}+78 t +190}}{18}=\frac{1-6 t \pm \sqrt{9 t^{2}+78 t +190}}{9}.

Passo 11

Escolher o ramo que satisfaz a condição inicial:
  • Avaliando a expressão em t=-1: o discriminante interno vale 9\cdot1+78\cdot(-1)+190=121 e \sqrt{121}=11.
  • Assim os dois ramos em t=-1 são \dfrac{7\pm11}{9}, ou seja 2 e -\dfrac{4}{9}.
  • A condição inicial exige y(-1)=2, então devemos escolher o sinal + no numerador.
Portanto a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
y(t)=\frac{1-6 t + \sqrt{9 t^{2}+78 t +190}}{9}.

Resposta

Sim, a equação é exata.
y(t)=\frac{1-6 t + \sqrt{9 t^{2}+78 t +190}}{9}

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