Dada a equação diferencial
responda os itens abaixo:
a)
Verifique se a equação é exata.
b)
Resolva a equação diferencial para a condição inicial
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial na forma de 1-forma:
As perguntas são:
- (a) Verificar se a equação é exata.
- (b) Resolver a equação diferencial satisfazendo a condição inicial
.
Informações relevantes dadas:
- A função multiplicando
é . - A função multiplicando
é . - Condição inicial:
e .
Passo 2
O que é uma equação exata (aula rápida, passo a passo):
- Uma 1-forma
é exata em uma região se existe uma função potencial tal que
- Uma condição prática (suficiente em regiões simples) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Se isso ocorrer, a equação é exata.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias:
Como
, a condição de exatidão ocorre.
Passo 4
Conclusão do item (a):
- A equação é exata, porque as derivadas parciais cruzadas são iguais.
Passo 5
Método para resolver uma equação exata (aula prática):
- Encontrar
integrando em relação a , tratando como constante, e adicionando uma função que represente a “constante” de integração que pode depender de :
- Depois impor
para determinar . - A solução geral é
(constante).
Passo 6
Integrar
em relação a
:
Aqui
é uma função arbitrária de
que aparece porque ao integrar em
tratamos
como constante.
Passo 7
Impor
para achar
:
Isolando
obtemos
Integrando em
:
onde
é uma constante. Podemos incorporá-la depois na constante final da solução implícita.
Passo 8
Construir a função potencial completa
e escrever a solução implícita:
A solução geral implícita é
onde
é constante.
Passo 9
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
:
Portanto
. A solução implícita particular é
Passo 10
Se for desejável obter
explicitamente em função de
, reorganize como uma equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) com
,
,
, o discriminante é
Escrevendo a raiz de forma simplificada:
Logo as soluções são
Passo 11
Escolher o ramo que satisfaz a condição inicial:
- Avaliando a expressão em
: o discriminante interno vale e . - Assim os dois ramos em
são , ou seja e . - A condição inicial exige
, então devemos escolher o sinal no numerador.
Portanto a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
Resposta
Sim, a equação é exata.