Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
((y e^{x y} \cos 2 x-2 e^{x y} \operatorname{sen} 2 x+2 x) d x
+\left(x e^{x y} \cos 2 x-3\right) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\bigl(y e^{x y}\cos2x - 2 e^{x y}\sin2x + 2x\bigr)\,dx +\bigl(x e^{x y}\cos2x - 3\bigr)\,dy=0
e pede para verificar se ela é exata. Lembrando que uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se for exata, devemos encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y e^{x y}\cos2x - 2 e^{x y}\sin2x + 2x,
N(x,y)=x e^{x y}\cos2x - 3.
Vamos calcular \partial M/\partial y:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x y}\cos2x\bigr) -2\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y}\sin2x\bigr).
Para o primeiro termo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x y}\cos2x\bigr) =e^{x y}\cos2x + y\bigl(x e^{x y}\cos2x\bigr) =e^{x y}\cos2x + x y e^{x y}\cos2x.
Para o segundo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y}\sin2x\bigr) =x e^{x y}\sin2x.
Logo,
\frac{\partial M}{\partial y} =e^{x y}\cos2x + x y e^{x y}\cos2x -2x e^{x y}\sin2x.

Passo 3

Agora calculamos \partial N/\partial x:
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{x y}\cos2x\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}(3).
Para o termo principal:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{x y}\cos2x\bigr) =e^{x y}\cos2x + x\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y}\cos2x\bigr).
E
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y}\cos2x\bigr) =y e^{x y}\cos2x -2 e^{x y}\sin2x.
Somando,
\frac{\partial N}{\partial x} =e^{x y}\cos2x + x\bigl(y e^{x y}\cos2x -2 e^{x y}\sin2x\bigr) = e^{x y}\cos2x + x y e^{x y}\cos2x -2x e^{x y}\sin2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Para encontrar a solução, procuramos \psi(x,y) tal que \psi_x=M. Integramos M em relação a x:
\psi(x,y)=\int\bigl(y e^{x y}\cos2x -2 e^{x y}\sin2x +2x\bigr)\,dx.
Observamos que
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x y}\cos2x\bigr) =y e^{x y}\cos2x -2 e^{x y}\sin2x,
então
\psi(x,y) =e^{x y}\cos2x + \int 2x\,dx + h(y) =e^{x y}\cos2x + x^2 + h(y).

Passo 5

Agora impomos \psi_y=N. Calculamos
\psi_y =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y}\cos2x + x^2 + h(y)\bigr) =x e^{x y}\cos2x + h'(y)
e igualamos a N=x e^{x y}\cos2x-3. Logo,
x e^{x y}\cos2x + h'(y)=x e^{x y}\cos2x -3 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-3 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-3y.

Resposta

A solução geral é
e^{x y}\cos2x + x^2 - 3y = C,
onde C é constante de integração.

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