Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
((y e^{x y} \cos 2 x-2 e^{x y} \operatorname{sen} 2 x+2 x) d x
+\left(x e^{x y} \cos 2 x-3\right) d y=0
+\left(x e^{x y} \cos 2 x-3\right) d y=0
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Lembrando que uma equação
é exata se
Se for exata, devemos encontrar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Identificamos
Vamos calcular
:
Para o primeiro termo:
Para o segundo:
Logo,
Passo 3
Agora calculamos
:
Para o termo principal:
E
Somando,
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Para encontrar a solução, procuramos
tal que
. Integramos
em relação a
:
Observamos que
então
Passo 5
Agora impomos
. Calculamos
e igualamos a
. Logo,
Resposta
A solução geral é
onde
é constante de integração.