\qquad f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a
.
A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas mais diversas ciências. Por exemplo, a lei dos resfriamentos do corpos de Newton nos diz que, a taxa de variação de temperatura
de um corpo, em relação ao tempo
, é proporcional a diferença de temperatura do corpo e a temperatura do meio (
) em que ele está. Isto é,
Outra aplicação de taxa de variação pode ser utilizada no decaimento na massa de materiais radioativos. Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a um taxa proporcional a quantidade presente do material. Se
é a quantidade de massa de um certo material radioativo em um instante
, então a taxa de variação de
com respeito ao tempo
é dada por
onde
é uma constante de proporcionalidade que depende do material.
Exemplo 3.10
raio de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de
. Com que taxa estará variando o volume da esfera no instante em que
?
Solução: Como o raio da esfera varia conforme o tempo, temos que o nosso raio é uma função que depende do tempo
, isto é,
. Segundo o problema, a taxa de variação do raio é
Lembramos que o volume de uma esfera de raio
é dado por
. Assim neste caso tempo que
A variação do volume é dada por
. Note que temos
é uma função composta. Assim pela regra da cadeia
isto é,
Agora, como
, temos que
Seja
o tempo tal que
. Assim
.
Exemplo 3.11 Um reservatório de água está sendo esvaziado para a limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros,
horas após o escoamento ter começado é dada por:
Qual a quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas?
Solução:
Primeiro veremos a quantidade inicial de água, quando
temos que
Agora a quantidade após 5 horas:
Fazendo o volume final menos o inicial teremos a quantidade de água que saiu do reservatório em 5 horas:
Portanto a quantidade de água que sai dos reservatório nas 5 primeiras horas é 38750 litros.
Exemplo 3.11 Um reservatório de água está sendo esvaziado para a limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros,
Passo 1
O enunciado nos dá a quantidade de água no reservatório em função de
horas de escoamento:
e pede a quantidade de água que sai nas primeiras 5 horas. Na prática, estamos buscando a variação (queda) de volume entre
e
:
Passo 2
Calcular o volume inicial, isto é, em
:
Passo 3
Calcular o volume após 5 horas, ou seja, em
:
Passo 4
A quantidade de água que saiu nas 5 primeiras horas é a diferença entre o volume inicial e o volume em
:
Resposta
A quantidade de água escoada nas 5 primeiras horas é de
litros.