\qquad f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x.
A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas mais diversas ciências. Por exemplo, a lei dos resfriamentos do corpos de Newton nos diz que, a taxa de variação de temperatura T de um corpo, em relação ao tempo t, é proporcional a diferença de temperatura do corpo e a temperatura do meio ( Tm ) em que ele está. Isto é,
d Td t=K(T-Tm)
Outra aplicação de taxa de variação pode ser utilizada no decaimento na massa de materiais radioativos. Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a um taxa proporcional a quantidade presente do material. Se Q(t) é a quantidade de massa de um certo material radioativo em um instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t é dada por
d Qd t=K Q(t)
onde K é uma constante de proporcionalidade que depende do material.
Exemplo 3.10 O raio de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de 5 m / s. Com que taxa estará variando o volume da esfera no instante em que r=2 m ?
Solução: Como o raio da esfera varia conforme o tempo, temos que o nosso raio é uma função que depende do tempo t, isto é, r=r(t). Segundo o problema, a taxa de variação do raio é
d rd t=5
Lembramos que o volume de uma esfera de raio r é dado por V(t)=43 pi r^3. Assim neste caso tempo que
V(t)=43 pi[r(t)]^3
A variação do volume é dada por d Vd t. Note que temos V(t) é uma função composta. Assim pela regra da cadeia
d Vd t=d Vd r d rd t
isto é,
d Vd t=43 pi cdot 3[r(t)]^2 cdot d rd t
Agora, como d rd t=5, temos que
d Vd t=4 pi[r(t)]^2 cdot 5=20 pi[r(t)]^2
Seja t0 o tempo tal que r(t0)=2. Assim V^prime(t0)=20 pi[2]^2=80 pi m^3 / s.
Exemplo 3.11 Um reservatório de água está sendo esvaziado para a limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por:
V=50(80-t)^2
Qual a quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas?

Solução:

Primeiro veremos a quantidade inicial de água, quando t=0 temos que
V(0)=50(80-0)^2=320000
Agora a quantidade após 5 horas:
V(5)=50(80-5)^2=281250
Fazendo o volume final menos o inicial teremos a quantidade de água que saiu do reservatório em 5 horas:
V(0)-V(5)=320000-281250=38750 litros
Portanto a quantidade de água que sai dos reservatório nas 5 primeiras horas é 38750 litros.

Passo 1

O enunciado nos dá a quantidade de água no reservatório em função de t horas de escoamento:
V(t) = 50,(80 - t)^2
e pede a quantidade de água que sai nas primeiras 5 horas. Na prática, estamos buscando a variação (queda) de volume entre t=0 e t=5:
De<a V = V(0) - V(5)

Passo 2

Calcular o volume inicial, isto é, em t=0:
V(0) = 50,(80-0)^2 = 50 times 80^2 = 50 times 6400 = 320000

Passo 3

Calcular o volume após 5 horas, ou seja, em t=5:
V(5) = 50,(80-5)^2 = 50 times 75^2 = 50 times 5625 = 281250

Passo 4

A quantidade de água que saiu nas 5 primeiras horas é a diferença entre o volume inicial e o volume em t=5:
De<a V = V(0) - V(5) = 320000 - 281250 = 38750

Resposta

A quantidade de água escoada nas 5 primeiras horas é de 38750 litros.

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