\qquad f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x.
A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas mais diversas ciências. Por exemplo, a lei dos resfriamentos do corpos de Newton nos diz que, a taxa de variação de temperatura T de um corpo, em relação ao tempo t, é proporcional a diferença de temperatura do corpo e a temperatura do meio ( Tm ) em que ele está. Isto é,
d Td t=K(T-Tm)
Outra aplicação de taxa de variação pode ser utilizada no decaimento na massa de materiais radioativos. Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a um taxa proporcional a quantidade presente do material. Se Q(t) é a quantidade de massa de um certo material radioativo em um instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t é dada por
d Qd t=K Q(t)
onde K é uma constante de proporcionalidade que depende do material.
Exemplo 3.10 O raio de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de 5 m / s. Com que taxa estará variando o volume da esfera no instante em que r=2 m ?
Solução: Como o raio da esfera varia conforme o tempo, temos que o nosso raio é uma função que depende do tempo t, isto é, r=r(t). Segundo o problema, a taxa de variação do raio é
d rd t=5
Lembramos que o volume de uma esfera de raio r é dado por V(t)=43 pi r^3. Assim neste caso tempo que
V(t)=43 pi[r(t)]^3
A variação do volume é dada por d Vd t. Note que temos V(t) é uma função composta. Assim pela regra da cadeia
d Vd t=d Vd r d rd t
isto é,
d Vd t=43 pi cdot 3[r(t)]^2 cdot d rd t
Agora, como d rd t=5, temos que
d Vd t=4 pi[r(t)]^2 cdot 5=20 pi[r(t)]^2
Seja t0 o tempo tal que r(t0)=2. Assim V^prime(t0)=20 pi[2]^2=80 pi m^3 / s.
Exemplo 3.11 Um reservatório de água está sendo esvaziado para a limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por:
V=50(80-t)^2
Qual é a taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento?

Solução:

A taxa de variação é dada por d Vd t. Logo
V^prime(t)=50[2(80-t)(-1)]=100(t-80)
E m t=8 horas temos
V^prime(8)=100(8-80)=-7200
Portanto a taxa é de -7200 l/h.

Passo 1

O enunciado dá a quantidade de água em litros num reservatório, t horas após o início do escoamento, pela função
V(t)=50,(80 - t)^2
Queremos a taxa de variação do volume, isto é, dVdt, avaliada em t=8 horas.

Passo 2

Para obter dVdt usamos a regra da cadeia. Seja u(t)=80-t, então V(t)=50,u(t)^2. Temos
dudt=ddt(80-t)=-1
e
dVdt =ddul(50,u^2r)cdotdudt =50cdot2ucdot(-1) =-100,u
Voltando a t, como u=80-t, segue
dVdt=-100,(80-t)=100,(t-80)

Passo 3

Agora avaliamos em t=8:
dVdtl|t=8 =100,(8-80) =100cdot(-72) =-7200

Resposta

A taxa de variação do volume após 8 horas é -7200,\mathrm{l/h}.

Exercícios relacionados