\qquad f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a .
A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas mais diversas ciências. Por exemplo, a lei dos resfriamentos do corpos de Newton nos diz que, a taxa de variação de temperatura de um corpo, em relação ao tempo , é proporcional a diferença de temperatura do corpo e a temperatura do meio ( ) em que ele está. Isto é,
Outra aplicação de taxa de variação pode ser utilizada no decaimento na massa de materiais radioativos. Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a um taxa proporcional a quantidade presente do material. Se é a quantidade de massa de um certo material radioativo em um instante , então a taxa de variação de com respeito ao tempo é dada por
onde é uma constante de proporcionalidade que depende do material.
Exemplo 3.10 raio de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de . Com que taxa estará variando o volume da esfera no instante em que ?
Solução: Como o raio da esfera varia conforme o tempo, temos que o nosso raio é uma função que depende do tempo , isto é, . Segundo o problema, a taxa de variação do raio é
Lembramos que o volume de uma esfera de raio é dado por . Assim neste caso tempo que
A variação do volume é dada por . Note que temos é uma função composta. Assim pela regra da cadeia
isto é,
Agora, como , temos que
Seja o tempo tal que . Assim .
Exemplo 3.11 Um reservatório de água está sendo esvaziado para a limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, horas após o escoamento ter começado é dada por:
Qual é a taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento?
Solução:
A taxa de variação é dada por . Logo
horas temos
Portanto a taxa é de -7200 l/h.
Passo 1
O enunciado dá a quantidade de água em litros num reservatório, horas após o início do escoamento, pela função
Queremos a taxa de variação do volume, isto é, , avaliada em horas.
Passo 2
Para obter usamos a regra da cadeia. Seja , então . Temos
e
Voltando a , como , segue
Passo 3
Agora avaliamos em :
Resposta
A taxa de variação do volume após 8 horas é -7200,\mathrm{l/h}.