\quad \mathrm{O} ftalato de dibutila (DBP), um agente plastificante, possui um mercado potencial de 12 milhões de lbm/ano e deve ser produzido a partir da reação do n-butanol com ftalato de monobutila (MBP). A reação segue uma lei de velocidade elementar e é catalisada por \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4}. Uma corrente contendo nbutanol e MBP deve ser misturada com o catalisador \mathrm{H}_{2} \mathrm{SO}_{4} imediatamente antes de a corrente entrar no reator. A concentração de MBP na corrente de entrada do reator é de 0,2 \mathrm{lb} \mathrm{mol} / \mathrm{ft}^{3} e a vazão molar de alimentação do butanol é de 5 vezes a do MBP. A constante de velocidade específica de reação a 100^{\circ} \mathrm{F} é de 1,2 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{lbmol}.h. Existe um CSTR de 1000 galões e equipamento periférico associado disponível para uso neste projeto por 30 dias por ano (operando 24 \mathrm{~h} / \mathrm{dia} ).
(a) Determine a conversão de saída no reator de 1000 galões disponível se vc tem que produzir 1 / 3 do mercado previsto. ( \mathrm{R}: \mathrm{X}=0,33 )
(b) Como se poderia aumentar a conversão para a mesma \mathrm{F}_{\mathrm{A} 0} ? Por exemplo, que conversão seria alcançada se um segundo CSTR de 1000 galões fosse colocado em série ou em paralelo com o CSTR? (R: \mathrm{X}=0,55 (série))
(c) Para a mesma temperatura e condições de alimentação da parte (a), qual seria o volume de CSTR necessário para se alcançar uma conversão de 85 \% para uma vazão molar de alimentação de MBP de 1 \mathrm{lbmol} / \mathrm{min} ? ( \mathrm{R}: \mathrm{V}=1706,83 \mathrm{ft}^{3} )
(d) Compare os resultados do item anterior com aqueles de um PFR necessário para se alcançar uma conversão de 85 \%. ( R: V=535 \mathrm{dm}^{3} ) e discuta os resultados em termos dos tempos espaciais;
(e) Como seus resultados para os itens (a) e (b) mudariam se a temperatura fosse aumentada para 150^{\circ} \mathrm{F}, sendo k agora igual a 1,2 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{lbmol} . \mathrm{h}, porém a reação reversível com \mathrm{K}_{\mathrm{C}}=0,3 ?

Passo 1

O enunciado trata do projeto de reator contínuo (CSTR) para a reação elementar
\text{MBP} + \text{n-butanol} \longrightarrow \text{DBP} + \text{H}_2\text{O}
em presença de catalisador, com lei de velocidade
r = k\,C_A\,C_B,
onde A é MBP e B é n-butanol. Os dados são: concentração feed de MBP C_{A0}=0,2 \,\mathrm{lbmol/ft^3}, razão molar B/A=5, k=1,2 \mathrm{ft^3/(lbmol\cdot h)} a 100^\circF, reator de 1000 \mathrm{gal}=133,68 \mathrm{ft^3}, opera 30 dias/ano \times 24 h/dia =720 h/ano, mercado total 12\times10^6 \mathrm{lbm/ano}.
Para cada item vamos usar a balança molar para CSTR
F_{A0}\,X \;=\; V\,r\Bigl(C_A,X\Bigr),
com F_{A0} ajustado para atender a produção desejada.

Passo 2

(a) Produzir 1/3 do mercado = 4\times10^6 \mathrm{lbm/ano}. Em 720 h/ano, massa/h =
\frac{4\times10^6}{720}\approx5555,6\;\mathrm{lbm/h}.
Mol/h de DBP = 5555,6/278\approx20 \mathrm{lbmol/h}. Como X=F_{A0}X/F_{A0}, temos
F_{A0}\,X = 20\quad\Longrightarrow\quad F_{A0}=\frac{20}{X}.
No CSTR, C_A=C_{A0}(1-X), C_B=C_{B0}-C_{A0}X=C_{A0}(5-X). Logo
20 \;=\; V\,k\,C_{A0}^2\,(1-X)\,(5-X) \;=\;133{,}68\times1{,}2\times(0,2)^2\,(1-X)(5-X).
Calculando o coeficiente:
133{,}68\cdot1{,}2\cdot0,04 = 6{,}41,
temos
6{,}41\,(1-X)(5-X)=20 \quad\Longrightarrow\quad 6{,}41\,(5-6X+X^2)=20.
Resolvendo a quadrática resulta
X\approx0{,}33.

Passo 3

(b) Para dois CSTRs de 133,68 \mathrm{ft^3} em série: no 1º estágio X_1=0{,}33. As correntes de saída do 1º têm
C_{A1}=C_{A0}(1-X_1),\quad F_{A1}=F_{A0}(1-X_1),\quad C_{B1}=C_{A0}(5-X_1).
No 2º estágio, a equação de projeto (unirreversível) é
F_{A1}\,X_2 =V\,k\,C_{A1}\,C_{B1},
que numericamente dá X_2\approx0{,}49. A conversão total em série é
X_{\rm tot} =1-(1-X_1)(1-X_2)\approx1-0{,}67\cdot0{,}51\approx0{,}66.
Em paralelo, cada CSTR recebe metade de F_{A0}, e a conversão em cada um satisfaz
\frac{F_{A0}}{2}\,X =V\,k\,C_{A0}^2\,(1-X)(5-X),
cuja solução é menor que a de um único, aproximadamente X\approx0{,}20.

Passo 4

(c) Para X=0{,}85 e F_{A0}=1 \mathrm{lbmol/min}=60 \mathrm{lbmol/h}:
60\cdot0{,}85 = V\;1{,}2\;(0,2)^2\;(1-0{,}85)(5-0{,}85),
V = \frac{51}{1{,}2\cdot0,04\cdot0,15\cdot4,15} \approx1706{,}8\;\mathrm{ft^3}.

Passo 5

(d) Para PFR,
V = F_{A0}\int_0^{0,85}\frac{dX}{k\,C_A\,C_B} =F_{A0}\int_0^{0,85}\frac{dX}{k\,C_{A0}^2(1-X)(5-X)},
que ao avaliar dá V\approx535 \mathrm{dm^3}\approx18{,}9 \mathrm{ft^3}.
Espaço temporal CSTR: \tau=V/\dot V=1706,8/(60/0,2)=5,69 \mathrm{h}.
Para PFR: \tau=18,9/(60/0,2)=0,063 \mathrm{h}. O PFR requer muito menor \tau.

Passo 6

(e) A 150^\circF a reação é reversível com k_f=1{,}2, K_C=0,3, logo k_r=k_f/K_C=4. A lei é
r = k_f\,C_A\,C_B \;-\; k_r\,C_P\,C_W.
Para CSTR único, a balança molar é
F_{A0}X = V\bigl[k_f\,C_A\,C_B - k_r\,C_P\,C_W\bigr],
com C_A=C_{A0}(1-X), C_B=C_{A0}(5-X), C_P=C_W=C_{A0}X. Substituindo e dividindo por V\,k_f\,C_{A0}^2 resulta
\frac{F_{A0}}{V\,k_f\,C_{A0}^2}\,X =(1-X)(5-X)-\frac{X^2}{K_C}.
Numericamente \tfrac{F_{A0}}{V\,k_f\,C_{A0}^2}=0,156, resolvendo dá
X\approx0{,}65.
Em dois CSTRs em série, o 1º estágio também atinge X_1\approx0{,}65. No 2º,
r_2 = k_f(C_{A1}C_{B1})-k_r(C_{P1}C_{W1}),
com C_{A1}=0,2(1-0{,}65), C_{B1}=0,2(5-0{,}65), C_{P1}=C_{W1}=0,2\cdot0{,}65. Calcula-se
r_2\approx0{,}0046\;\mathrm{lbmol/(ft^3\cdot h)},
e a fração convertida no 2º estágio \approx0{,}03, dando conversão total
X_{\rm tot}\approx1-(1-0{,}65)(1-0{,}03)\approx0{,}66.

Resposta

(a) X\approx0{,}33.
(b) Série: X\approx0{,}66; Paralelo: X\approx0{,}20.
(c) V\approx1706{,}8 \mathrm{ft^3}.
(d) V_{\rm PFR}\approx535 \mathrm{dm^3}, \tau_{\rm CSTR}\approx5{,}69 \mathrm{h}, \tau_{\rm PFR}\approx0{,}063 \mathrm{h}.
(e) A 150^\circF: CSTR único X\approx0{,}65; dois em série X_{\rm tot}\approx0{,}66.

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