. ( ITA - SP ) Considere P a matriz inversa da matriz M, onde: M=\left(\begin{array}{ll}1 / 3 & 0 \\\\ 1 / 7 & 1\end{array}\right). A soma dos elementos da diagonal principal ma matriz P é:
a)9/4
b) 4/9
c) 5 / 9
d) 4
e) -1 / 9

Passo 1

O enunciado diz que P é a matriz inversa da matriz M e pede a soma dos elementos da diagonal principal de P. A matriz dada é
M=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt]\tfrac{1}{7} & 1\end{pmatrix}.
Pergunta: qual é a soma dos elementos da diagonal principal de P, ou seja, qual é \text{tr}(P)=P_{11}+P_{22}?]

Passo 2

Fórmula rápida e útil para inverter uma matriz 2\times2: se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então, quando o determinante \det(A)=ad-bc for diferente de zero, a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicação do que isso quer dizer: ad-bc é um número (o determinante); se for zero a matriz não tem inversa. A matriz multiplica cada elemento do adjunto \begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix} pelo escalar 1/(ad-bc).]

Passo 3

Identifico os coeficientes de M comparando com \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}:
a=\tfrac{1}{3},\quad b=0,\quad c=\tfrac{1}{7},\quad d=1.

Passo 4

Calculo o determinante de M:
\det(M)=ad-bc=\left(\tfrac{1}{3}\right)\cdot 1 - 0\cdot\left(\tfrac{1}{7}\right)=\tfrac{1}{3}.
Como \det(M)=\tfrac{1}{3}\neq 0, a inversa existe.

Passo 5

Formo a matriz adjunta (aquela que vai dentro da fórmula):
\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{7} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Multiplico a adjunta pelo escalar 1/\det(M). Como \det(M)=\tfrac{1}{3}, temos 1/\det(M)=3. Portanto
P=M^{-1}=3\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{7} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\cdot 1 & 3\cdot 0\\[4pt] 3\cdot\left(-\tfrac{1}{7}\right) & 3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt] -\tfrac{3}{7} & 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora somo os elementos da diagonal principal de P:
\text{tr}(P)=P_{11}+P_{22}=3+1=4.

Passo 8

(Rápida verificação, opcional) Para conferir, multiplico M por P e verifico que dá a identidade:
M P= \begin{pmatrix}\tfrac{1}{3} & 0\\[4pt]\tfrac{1}{7} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt] -\tfrac{3}{7} & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3}\cdot 3 + 0\cdot\left(-\tfrac{3}{7}\right) & \tfrac{1}{3}\cdot 0 + 0\cdot 1\\[6pt] \tfrac{1}{7}\cdot 3 + 1\cdot\left(-\tfrac{3}{7}\right) & \tfrac{1}{7}\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
confirmando que o cálculo de P está correto.]

Resposta

d) 4

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