Uma quadra de beisebol é um quadrado com um lado de 18 metros. Um batedor atinge a bola e corre em direçalo à primeira base com uma velocidade de 7,5 m / s.
(a) A que taxa decresce sua distancia da segunda base quando ele está a meio caminho da primeira base?
(b) A que taxa aumenta sua distincia da terceira base no mesmo momento?

Passo 1

O enunciado fala de um corredor que vai de home plate até a primeira base numa quadra de beisebol que é um quadrado de lado 18 m. Ele corre com velocidade constante de 7,5 m/s. Precisamos achar em que taxa decresce sua distância até a segunda base e em que taxa aumenta sua distância até a terceira base no instante em que ele está a meio caminho da primeira base (ou seja, quando percorreu 9 m).

Passo 2

Vamos colocar um sistema de coordenadas:
  • Home plate em (0,0).
  • Primeira base em (18,0).
  • Segunda base em (18,18).
  • Terceira base em (0,18).
Seja x(t) a posição do corredor medido a partir de home plate no eixo x. Então
dxdt=7,5 m/s
A distância até a segunda base é
s2 = raiz(18 - x)^2 + 18^2
A distância até a terceira base é
s3 = raizx^2 + 18^2

Passo 3

Para achar ds2dt fazemos derivada implícita de
s2^2 = (18 - x)^2 + 18^2
Derivando em relação a t:
2,s2ds2dt = 2(18 - x)l(-dxdtr)
Logo
ds2dt = -(18 - x)s2,dxdt
No instante considerado x=9, então
s2 = raiz(18 - 9)^2 + 18^2 = raiz9^2 + 18^2 = raiz81 + 324 = raiz405 = 9raiz5
Substituindo:
ds2dt = -99raiz5times 7,5 = -7,5raiz5 = -7,5raiz55 = -1,5raiz5 m/s

Passo 4

Agora para ds3dt derivamos
s3^2 = x^2 + 18^2
e obtemos
2,s3ds3dt = 2x,dxdt,
ou seja
ds3dt =xs3,dxdt
No mesmo instante x=9 e s3=raiz9^2+18^2=9raiz5, logo
ds3dt =99raiz5times 7,5 =7,5raiz5 =7,5raiz55 =1,5raiz5 m/s

Resposta

(a) ds2dt = -1,5 raiz5 m/s\n(b) ds3dt = 1,5 raiz5 m/s

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