1. O quadrado limitado pelos eixos cartesianos e pelas retas x=2 e y=2 é cortado em duas regiões pela curva y^2=2 x. Mostre que essas regiões geram sólidos de volumes iguais quando giradas ao redor do eixo O X.

Passo 1

O enunciado diz que temos o quadrado
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2
cortado em duas regiões pela curva
y^2 = 2x
Queremos mostrar que, ao girar cada uma dessas regiões em torno do eixo OX, os volumes gerados são iguais.
Conteúdo: cálculo de volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos (ou anéis).

Passo 2

Consideremos a região A limitada por y=0, pela curva y=raiz2x e pelas retas x=0, x=2. Ao girar em torno de OX, usamos o método dos discos: a cada fatia em x temos raio exterior
R(x)=raiz2x,
logo
VA = pi integral0^2 l(R(x)r)^2,dx = pi integral0^2 (2x),dx = 2pi integral0^2 x,dx = 2pi [x^22]0^2 = 2pi cdot 42 =4pi

Passo 3

Agora a região B fica entre a curva y=raiz2x e a reta y=2, para 0<= x<=2. Ao girar em torno de OX obtemos um sólido por anéis, com raio externo R(x)=2 e interno r(x)=raiz2x. Assim
VB = pi integral0^2 l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = pi integral0^2 l(4 - 2xr),dx = pi [4x - x^2]0^2 = pi l(8 - 4r) =4pi

Passo 4

Comparando, temos
VA = 4pi e VB = 4pi,
logo os volumes são iguais.

Resposta

Os volumes dos dois sólidos são iguais e valem 4pi.

Exercícios relacionados