- O quadrado limitado pelos eixos cartesianos e pelas retas
e
é cortado em duas regiões pela curva
. Mostre que essas regiões geram sólidos de volumes iguais quando giradas ao redor do eixo
.
Passo 1
O enunciado diz que temos o quadrado
cortado em duas regiões pela curva
Queremos mostrar que, ao girar cada uma dessas regiões em torno do eixo
, os volumes gerados são iguais.
Conteúdo: cálculo de volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos (ou anéis).
Conteúdo: cálculo de volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos (ou anéis).
Passo 2
Consideremos a região
limitada por
, pela curva
e pelas retas
,
. Ao girar em torno de
, usamos o método dos discos: a cada fatia em
temos raio exterior
logo
Passo 3
Agora a região
fica entre a curva
e a reta
, para
. Ao girar em torno de
obtemos um sólido por anéis, com raio externo
e interno
. Assim
Passo 4
Comparando, temos
logo os volumes são iguais.
Resposta
Os volumes dos dois sólidos são iguais e valem
.