- (a) Calcule a área entre a curva
e sua reta tangente em
.
(b) Sabendo que
, use áreas para mostrar que
.
(b) Sabendo que
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) vamos calcular a área limitada pela curva
e sua reta tangente em
. Isso envolve derivada para achar a reta e depois uma integral definida para a área entre as duas funções. Na parte (b) vamos usar a interpretação geométrica de
como área sob a curva
e compará-la com a área de um retângulo para concluir que
.
Passo 2
Primeiro achamos a reta tangente a
em
. A derivada é
logo em
temos
. O ponto de tangência é
. A equação da reta em forma ponto-inclinação fica
Passo 3
Precisamos dos limites de integração onde a curva e a reta se encontram. Resolva
Fatorando,
, daí as raízes são
(dupla) e
. A região fica entre
e
. Em
verifica-se que
, então a área é
Passo 4
Calcule a integral:
Avalie de
a
:
Passo 5
Portanto, na parte (a) a área entre
e sua reta tangente em
é
.
Passo 6
Agora a parte (b): sabemos que
é a área sob a curva
de
até
. Se
fosse
, então toda essa área caberia no retângulo de base
e altura
, cujo valor é
Isso contradiz o fato de que a área de
a
sob
é exatamente
.
Passo 7
Logo, para que
seja atingido, é necessário que .
seja atingido, é necessário que
Resposta
(a)
(b)
(b)