1. (a) Calcule a área entre a curva y=x^3 e sua reta tangente em x=1.
    (b) Sabendo que ln e=integral1^e d tt=1, use áreas para mostrar que e>2.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) vamos calcular a área limitada pela curva y=x^3 e sua reta tangente em x=1. Isso envolve derivada para achar a reta e depois uma integral definida para a área entre as duas funções. Na parte (b) vamos usar a interpretação geométrica de
ln e ;=;integral1^edtt=1
como área sob a curva y=1/t e compará-la com a área de um retângulo para concluir que e>2.

Passo 2

Primeiro achamos a reta tangente a y=x^3 em x=1. A derivada é
y' = 3x^2,
logo em x=1 temos y'(1)=3. O ponto de tangência é (1,1^3)=(1,1). A equação da reta em forma ponto-inclinação fica
y-1 = 3,(x-1) Longrightarrow y = 3x - 2

Passo 3

Precisamos dos limites de integração onde a curva e a reta se encontram. Resolva
x^3 = 3x - 2 Longrightarrow x^3 - 3x +2 = 0
Fatorando, x^3 -3x+2 = (x-1)^2(x+2), daí as raízes são x=1 (dupla) e x=-2. A região fica entre x=-2 e x=1. Em [-2,1] verifica-se que x^3 >= 3x-2, então a área é
integral-2^1 l(x^3 - (3x-2)r),dx

Passo 4

Calcule a integral:
integral l(x^3 -3x+2r),dx = x^44 - 3x^22 + 2x
Avalie de -2 a 1:
l[x^44 - 3x^22 +2xr]-2^1 = l(tfrac14-tfrac32+2r) - l(tfrac164-tfrac3cdot42-4r) = tfrac34 - (-6) = tfrac274

Passo 5

Portanto, na parte (a) a área entre y=x^3 e sua reta tangente em x=1 é tfrac274.

Passo 6

Agora a parte (b): sabemos que
integral1^edtt = 1
é a área sob a curva y=1/t de t=1 até t=e. Se e fosse <=2, então toda essa área caberia no retângulo de base 1to2 e altura 1, cujo valor é
integral1^2dtt < integral1^21,dt = 1
Isso contradiz o fato de que a área de 1 a e sob 1/t é exatamente 1.

Passo 7

Logo, para que
integral1^edtt=1
seja atingido, é necessário que e>2.

Resposta

(a) 274
(b) e>2

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