Quádricas. Esboce o conjunto de pontos
(c)
que satisfazem
(c)
Passo 1
O enunciado pede o esboço do conjunto de pontos
que satisfazem
Este é um problema de classificação de quádricas em
. Vamos identificar o tipo de superfície e traçar seu esboço.
Passo 2
Reescrevendo a equação em forma canônica isolando
, obtemos
Isso já mostra que
cresce com
e
, sugerindo uma superfície cônica.
Passo 3
Para entender melhor, analisamos as seções transversais em planos
, com
fixo. Substituindo
na forma canônica:
Se
, a única solução é
.
Para , temos uma elipse de equação
Para
Logo, cada plano horizontal
intercepta a superfície numa elipse de semi-eixos
em
e
em
.
Passo 4
Como há elipses para todos os
e apenas o ponto
em
, trata-se de um cone duplo (duas nappas) com vértice na origem e eixo paralelo ao eixo
.
Passo 5
Uma forma de parametrizar o cone é usar coordenadas cilíndricas modificadas: seja
com
e
. Substituindo, confirma-se
Resposta
O conjunto é um cone duplo com vértice na origem e eixo ao longo de
, dado pela equação
Em cada plano
surge uma elipse de semi-eixos
(direção
) e
(direção
).