Quádricas. Esboce o conjunto de pontos
(c)
(x, y, z) in R^3 que satisfazem
2 x^2-y^2+z^2=0

Passo 1

O enunciado pede o esboço do conjunto de pontos (x,y,z)inR^3 que satisfazem
2x^2 - y^2 + z^2 = 0
Este é um problema de classificação de quádricas em R^3. Vamos identificar o tipo de superfície e traçar seu esboço.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma canônica isolando y^2, obtemos
-y^2 + 2x^2 + z^2 = 0 Longrightarrow y^2 = 2x^2 + z^2
Isso já mostra que y^2 cresce com x^2 e z^2, sugerindo uma superfície cônica.

Passo 3

Para entender melhor, analisamos as seções transversais em planos y = k, com kinR fixo. Substituindo y=k na forma canônica:
2x^2 + z^2 = k^2
Se k=0, a única solução é (x,z)=(0,0).
Para kneq0, temos uma elipse de equação
x^2,k^2/2, + z^2,k^2, = 1
Logo, cada plano horizontal y=k intercepta a superfície numa elipse de semi-eixos raizk^2/2 em x e |k| em z.

Passo 4

Como há elipses para todos os kneq0 e apenas o ponto (0,0,0) em k=0, trata-se de um cone duplo (duas nappas) com vértice na origem e eixo paralelo ao eixo y.

Passo 5

Uma forma de parametrizar o cone é usar coordenadas cilíndricas modificadas: seja
y = t, x = traiz2costheta, z = tsintheta,
com tinR e thetain[0,2pi). Substituindo, confirma-se
2x^2 + z^2 =2l(tfractraiz2r)^2cos^2theta + t^2sin^2theta = t^2(cos^2theta + sin^2theta) = t^2 = y^2

Resposta

O conjunto é um cone duplo com vértice na origem e eixo ao longo de y, dado pela equação
y^2 = 2x^2 + z^2
Em cada plano y=k surge uma elipse de semi-eixos raizk^2/2 (direção x) e |k| (direção z).

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