As quádricas a seguir, são quádricas deslocadas da origem. Complete o quadrado e determine qual é a quádrica e o centro.
-9 x^{2}+16 y^{2}+4 z^{2}-36 x-64 y-24 z=80

Passo 1

O enunciado dá a quádricas deslocada
-9x^{2} + 16y^{2} + 4z^{2} - 36x - 64y - 24z = 80
e pede para completar o quadrado, obter a forma canônica, identificar o tipo de quádricas e o seu centro.

Passo 2

Agrupamos termos em x, y e z e fatoramos os coeficientes:
-9\bigl(x^{2} + 4x\bigr) \;+\;16\bigl(y^{2} - 4y\bigr)\;+\;4\bigl(z^{2} - 6z\bigr)\;=\;80.
Agora completamos o quadrado em cada parêntese:
x^{2} + 4x = (x+2)^{2} - 4,\quad y^{2} - 4y = (y-2)^{2} - 4,\quad z^{2} - 6z = (z-3)^{2} - 9.

Passo 3

Substituindo de volta e somando os constantes que aparecem:
-9\bigl((x+2)^{2}-4\bigr) +16\bigl((y-2)^{2}-4\bigr) +4\bigl((z-3)^{2}-9\bigr) =80,
-9(x+2)^{2}+36 +16(y-2)^{2}-64 +4(z-3)^{2}-36 =80,
-9(x+2)^{2}+16(y-2)^{2}+4(z-3)^{2}-64=80,
-9(x+2)^{2}+16(y-2)^{2}+4(z-3)^{2}=144.
Dividindo ambos os lados por 144, obtemos a forma canônica
-\frac{(x+2)^{2}}{16} \;+\;\frac{(y-2)^{2}}{9}\;+\;\frac{(z-3)^{2}}{36} \;=\;1.

Passo 4

Na forma
-\frac{(x+2)^{2}}{16} + \frac{(y-2)^{2}}{9} + \frac{(z-3)^{2}}{36} = 1
temos dois termos positivos e um negativo à esquerda, igual a 1. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha. O centro é o ponto que “anula” todos os termos quadráticos, ou seja,
\bigl(x+2=0,\;y-2=0,\;z-3=0\bigr) \;\Longrightarrow\; (-2,\,2,\,3).

Resposta

É um hiperbolóide de uma folha com centro em (-2,\,2,\,3).

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