Quaisquer que sejam os pontos
e
e os vetores
e
, valem as propriedades:
\mathbf{P}_{3} & A+\vec{u}=B+\vec{u} \Rightarrow A=B \
\mathbf{P}_{3} & A+\vec{u}=B+\vec{u} \Rightarrow A=B \
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade de cancelamento em um espaço afim: dados quaisquer pontos
e vetor
, mostrar que
Para isso vamos usar os axiomas de soma de vetores e pontos, em particular a existência do inverso aditivo de
e a associatividade.
Passo 2
Sabemos que, em todo espaço vetorial, para cada vetor
existe o vetor inverso
tal que
Além disso, o axioma de ação de vetor sobre ponto diz que
e que existe vetor nulo
com
Passo 3
Começando da hipótese
somamos o vetor
a ambos os lados, obtendo
Passo 4
Pela associatividade da soma de ponto com vetor e usando
, temos
Passo 5
Pelo axioma do vetor nulo,
e
. Logo
Resposta
A propriedade
está demonstrada: de
segue
.