Quaisquer que sejam os pontos A e B e os vetores \vec{u} e \vec{v}, valem as propriedades:
\mathbf{P}_{3} & A+\vec{u}=B+\vec{u} \Rightarrow A=B \

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de cancelamento em um espaço afim: dados quaisquer pontos A,B e vetor \vec u, mostrar que
A + \vec u = B + \vec u \quad\Longrightarrow\quad A = B.
Para isso vamos usar os axiomas de soma de vetores e pontos, em particular a existência do inverso aditivo de \vec u e a associatividade.

Passo 2

Sabemos que, em todo espaço vetorial, para cada vetor \vec u existe o vetor inverso -\vec u tal que
\vec u + (-\vec u) = \vec 0.
Além disso, o axioma de ação de vetor sobre ponto diz que
(A + \vec u) + \vec v = A + (\vec u + \vec v)
e que existe vetor nulo \vec 0 com
A + \vec 0 = A.

Passo 3

Começando da hipótese
A + \vec u = B + \vec u,
somamos o vetor -\vec u a ambos os lados, obtendo
(A + \vec u) + (-\vec u) \;=\; (B + \vec u) + (-\vec u).

Passo 4

Pela associatividade da soma de ponto com vetor e usando \vec u + (-\vec u)=\vec 0, temos
A + (\vec u + (-\vec u)) \;=\; B + (\vec u + (-\vec u)) \quad\Longrightarrow\quad A + \vec 0 = B + \vec 0.

Passo 5

Pelo axioma do vetor nulo, A + \vec 0 = A e B + \vec 0 = B. Logo
A = B.

Resposta

A propriedade P_{3} está demonstrada: de A + \vec u = B + \vec u segue A = B.

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