Quaisquer que sejam os pontos
e
e os vetores
e
, valem as propriedades:
\mathbf{P}_{4} & (A-\vec{u})+\vec{u}=A
\mathbf{P}_{4} & (A-\vec{u})+\vec{u}=A
Passo 1
O enunciado nos pede para demonstrar a propriedade
onde
é um ponto e
é um vetor. Para isso precisamos usar as definições e propriedades básicas de um espaço afim:
– Definição de subtração de vetor em ponto:
– Definição de subtração de vetor em ponto:
onde
é o vetor oposto a
.
– Propriedade de associatividade da soma de vetor a ponto:
– Propriedade de associatividade da soma de vetor a ponto:
– Propriedade de cancelamento em espaço vetorial:
– E identidade neutra:
Passo 2
Pela definição de subtração, escrevemos
Logo
Passo 3
Usando a associatividade da soma de vetor a ponto, temos
Passo 4
Sabemos que
. Assim
Passo 5
Pela identidade neutra em pontos,
. Portanto