Quaisquer que sejam os pontos A e B e os vetores \vec{u} e \vec{v}, valem as propriedades:
\mathbf{P}_{4} & (A-\vec{u})+\vec{u}=A

Passo 1

O enunciado nos pede para demonstrar a propriedade
\mathbf{P}_{4}:\;(A-\vec u)+\vec u = A
onde A é um ponto e \vec u é um vetor. Para isso precisamos usar as definições e propriedades básicas de um espaço afim:
– Definição de subtração de vetor em ponto:
A - \vec u \;=\; A + (-\vec u),
onde -\vec u é o vetor oposto a \vec u.
– Propriedade de associatividade da soma de vetor a ponto:
\bigl(A + \vec v\bigr) + \vec w \;=\; A + (\vec v + \vec w).
– Propriedade de cancelamento em espaço vetorial:
(-\vec u) + \vec u = \vec 0,
– E identidade neutra:
A + \vec 0 = A.

Passo 2

Pela definição de subtração, escrevemos
A - \vec u \;=\; A + (-\vec u).
Logo
(A - \vec u) + \vec u = \bigl(A + (-\vec u)\bigr) + \vec u.

Passo 3

Usando a associatividade da soma de vetor a ponto, temos
\bigl(A + (-\vec u)\bigr) + \vec u = A + \bigl((- \vec u) + \vec u\bigr).

Passo 4

Sabemos que (-\vec u) + \vec u = \vec 0. Assim
A + \bigl((- \vec u) + \vec u\bigr) = A + \vec 0.

Passo 5

Pela identidade neutra em pontos, A + \vec 0 = A. Portanto
(A - \vec u) + \vec u = A.

Resposta

\mathbf{P}_{4} está demonstrada, pois (A-\vec u)+\vec u = A.

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