Ex. 11 Suponha que um dado equilibrado seja lançado repetidamente até que o mesmo número apareça em dois lançamentos sucessivos, e seja X o número de lançamentos necessários. Determine o valor de \mathbb{P}[X=n].

Passo 1

O enunciado diz que um dado equilibrado (justo) é lançado repetidamente até que o mesmo número apareça em dois lançamentos sucessivos. Define-se X como o número de lançamentos necessários. A tarefa é determinar \mathbb{P}[X=n]. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{O dado tem }6\text{ faces, cada face com probabilidade } \tfrac{1}{6}.\\\ &X\text{ é o número total de lançamentos até a primeira ocorrência de duas faces iguais em sequência.}\\\ &\text{Logo, }X\in\{2,3,4,\dots\}. \end{aligned}éúçéêê

Passo 2

Modelagem por sequências de resultados: para calcular \mathbb{P}[X=n] consideramos todas as sequências de n resultados do dado. Cada sequência de n lançamentos tem probabilidade igual, porque os lançamentos são independentes e o dado é justo. O número total de sequências possíveis de tamanho n é
6^n,
pois em cada uma das n posições há 6 possibilidades.

Passo 3

Caracterização do evento \{X=n\}: para que a primeira vez em que apareçam dois números iguais em lançamentos sucessivos seja exatamente no lançamento n, é necessário e suficiente que:
  1. os dois últimos lançamentos sejam iguais (ou seja, o resultado no lançamento n é igual ao do lançamento n-1); e
  2. em nenhum par de lançamentos anteriores (1,2), (2,3),\dots,(n-2,n-1) houve igualdade consecutiva. Em outras palavras, para cada i=2,\dots,n-1 vale que o lançamento i é diferente do lançamento i-1, e por fim o lançamento n é igual ao lançamento n-1.

Passo 4

Contagem das sequências favoráveis: vamos contar quantas sequências de comprimento n satisfazem as condições do passo anterior.
  • O primeiro lançamento pode ser qualquer face: 6 possibilidades.
  • Para cada posição i com 2\le i\le n-1 o lançamento i deve ser diferente do lançamento i-1; portanto, dado o valor anterior, existem 5 opções para o lançamento i. Como essas escolhas são independentes entre si (a condição só depende do anterior), o número de opções para os lançamentos 2,3,\dots,n-1 é 5^{\,n-2}.
  • O lançamento n deve ser igual ao lançamento n-1, então, dado o valor do n-1-ésimo lançamento, há exatamente 1 opção para o n-ésimo.
Pelo princípio multiplicativo (regra da cadeia de probabilidades/contagem), o número total de sequências favoráveis é
6\cdot 5^{\,n-2}\cdot 1 = 6\cdot 5^{\,n-2}.

Passo 5

Cálculo da probabilidade dividindo favoráveis por possíveis:
\mathbb{P}[X=n] = \frac{\text{nº de sequências favoráveis}}{\text{nº total de sequências}} = \frac{6\cdot 5^{\,n-2}}{6^n}.ºêáºê
Simplificando:
\mathbb{P}[X=n] = \frac{5^{\,n-2}}{6^{\,n-1}},\qquad n=2,3,\dots
Expliquei cada fator: o 5^{\,n-2} vem das escolhas em que cada novo lançamento (exceto o primeiro e o último) não repete o anterior; o denominador 6^{\,n-1} resulta da simplificação de 6\cdot 6^{\,n-1}=6^n.

Passo 6

Cheque de consistência (opcional, mas bom para ganhar confiança): somando \mathbb{P}[X=n] para n=2 até infinito deve dar 1. Faça a soma geométrica:
\sum_{n=2}^{\infty}\mathbb{P}[X=n]=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{5^{\,n-2}}{6^{\,n-1}}=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{k}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{5}{6}}=\frac{1}{6}\cdot 6=1.
Isso confirma que a fórmula está correta e define uma distribuição de probabilidade válida.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para intuir:
\mathbb{P}[X=2]=\frac{5^{0}}{6^{1}}=\frac{1}{6}\quad(\text{probabilidade de repetir já no segundo lançamento}),áç
\mathbb{P}[X=3]=\frac{5^{1}}{6^{2}}=\frac{5}{36},
e assim por diante. Isso ajuda a ver como a probabilidade decai geometricamente.

Resposta

\mathbb{P}[X=n]=\frac{5^{\,n-2}}{6^{\,n-1}},\qquad n=2,3,\ldots

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