Ex. 11 Suponha que um dado equilibrado seja lançado repetidamente até que o mesmo número apareça em dois lançamentos sucessivos, e seja
o número de lançamentos necessários. Determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado diz que um dado equilibrado (justo) é lançado repetidamente até que o mesmo número apareça em dois lançamentos sucessivos. Define-se
como o número de lançamentos necessários. A tarefa é determinar
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Modelagem por sequências de resultados: para calcular
consideramos todas as sequências de
resultados do dado. Cada sequência de
lançamentos tem probabilidade igual, porque os lançamentos são independentes e o dado é justo. O número total de sequências possíveis de tamanho
é
pois em cada uma das
posições há 6 possibilidades.
Passo 3
Caracterização do evento
: para que a primeira vez em que apareçam dois números iguais em lançamentos sucessivos seja exatamente no lançamento
, é necessário e suficiente que:
- os dois últimos lançamentos sejam iguais (ou seja, o resultado no lançamento
é igual ao do lançamento ); e - em nenhum par de lançamentos anteriores
houve igualdade consecutiva. Em outras palavras, para cada vale que o lançamento é diferente do lançamento , e por fim o lançamento é igual ao lançamento .
Passo 4
Contagem das sequências favoráveis: vamos contar quantas sequências de comprimento
satisfazem as condições do passo anterior.
- O primeiro lançamento pode ser qualquer face:
possibilidades. - Para cada posição
com o lançamento deve ser diferente do lançamento ; portanto, dado o valor anterior, existem opções para o lançamento . Como essas escolhas são independentes entre si (a condição só depende do anterior), o número de opções para os lançamentos é . - O lançamento
deve ser igual ao lançamento , então, dado o valor do -ésimo lançamento, há exatamente opção para o -ésimo.
Pelo princípio multiplicativo (regra da cadeia de probabilidades/contagem), o número total de sequências favoráveis é
Passo 5
Cálculo da probabilidade dividindo favoráveis por possíveis:
Simplificando:
Expliquei cada fator: o
vem das escolhas em que cada novo lançamento (exceto o primeiro e o último) não repete o anterior; o denominador
resulta da simplificação de
.
Passo 6
Cheque de consistência (opcional, mas bom para ganhar confiança): somando
para
até infinito deve dar
. Faça a soma geométrica:
Isso confirma que a fórmula está correta e define uma distribuição de probabilidade válida.
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos para intuir:
e assim por diante. Isso ajuda a ver como a probabilidade decai geometricamente.