Para qualquer operador , mostre que é auto-adjunto e é anti-adjunto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um operador linear qualquer em um espaço com produto interno, a soma é auto-adjunta e a diferença é anti-adjunta.
Vamos usar as seguintes propriedades dos adjuntos:
E as definições:
– Um operador S é auto-adjunto se S^* = S.
– Um operador S é anti-adjunto (ou skew-adjunto) se S^* = -S.
Passo 2
Calculemos o adjunto de T+T^*. Usando a linearidade do adjunto:
(T+T^*)^* = T^* + (T^*)^*
Mas (T^*)^* = T. Logo,
(T+T^*)^* = T^* + T = T + T^*
Como o adjunto de T+T^* coincide com ele mesmo, concluímos que T+T^* é auto-adjunto.
Passo 3
Agora calculemos o adjunto de T - T^*:
(T - T^*)^* = T^* - (T^*)^*
Mais uma vez (T^*)^* = T, então
(T - T^*)^* = T^* - T = -(T - T^*)
Como o adjunto de T-T^* é -l(T-T^*r), segue que T - T^* é anti-adjunto.