Para qualquer operador T, mostre que T+T^* é auto-adjunto e T-T^* é anti-adjunto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um operador linear qualquer T em um espaço com produto interno, a soma ,T+T^*, é auto-adjunta e a diferença ,T-T^*, é anti-adjunta.
Vamos usar as seguintes propriedades dos adjuntos:
(A+B)^* = A^* + B^*, (alpha A)^* = alpha,A^*, (A^*)^* = A
E as definições:
– Um operador S é auto-adjunto se S^* = S.
– Um operador S é anti-adjunto (ou skew-adjunto) se S^* = -S.

Passo 2

Calculemos o adjunto de T+T^*. Usando a linearidade do adjunto:
(T+T^*)^* = T^* + (T^*)^*
Mas (T^*)^* = T. Logo,
(T+T^*)^* = T^* + T = T + T^*
Como o adjunto de T+T^* coincide com ele mesmo, concluímos que T+T^* é auto-adjunto.

Passo 3

Agora calculemos o adjunto de T - T^*:
(T - T^*)^* = T^* - (T^*)^*
Mais uma vez (T^*)^* = T, então
(T - T^*)^* = T^* - T = -(T - T^*)
Como o adjunto de T-T^* é -l(T-T^*r), segue que T - T^* é anti-adjunto.

Resposta

T + T^* é auto-adjunto e T - T^* é anti-adjunto.

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